Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt/Beweis

Beweis

Die Zahl  ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$  kann nach Voraussetzung keine ${}k$-te Wurzel in ${}\mathbb {Z}$ besitzen, da in einer ${}k$-ten Potenz alle Exponenten zu Primzahlen Vielfache von ${}k$ sind. Wegen der Faktorialität von ${}\mathbb {Z}$ und der daraus nach Fakt resultierenden Normalität kann es auch kein  ${}x\in Q(\mathbb {Z} )=\mathbb {Q}$  mit  ${}x^{k}=n$  geben. Daher ist die reelle Zahl ${}n^{\frac {1}{k}}$ irrational.

Zur bewiesenen Aussage