Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis2

Beweis

Beim Ausmultiplizieren von

${}(a+b)^{n}=\underbrace {(a+b)\cdot (a+b)\cdots (a+b)} _{n{\text{-fach }}}\,$

muss jeder Summand gemäß dem allgemeinen Distributivgesetz (in jedem Faktor) mit jedem Summanden multipliziert werden. Für jedes Teilprodukt muss man sich bei jedem Faktor entscheiden, ob man den vorderen Summanden ${}a$ oder den hinteren Summanden ${}b$ nimmt. Die einzelnen Produkte haben die Form ${}a^{k}b^{n-k}$, wobei ${}k$ die Anzahl der Faktoren ist, bei denen ${}a$ gewählt wurde und ${}n-k$ die Anzahl der Faktoren ist, bei denen ${}b$ gewählt wurde. Wenn man ${}k$ fixiert, so kann man sich fragen, auf wie viele Arten das Produkt ${}a^{k}b^{n-k}$ zustande kommen kann. Eine solche Möglichkeit ist dadurch gegeben, dass man unter den ${}n$ Faktoren bestimmt, an welchen von ihnen ${}a$ gewählt wird. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also die Anzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$, also gleich ${}{\binom {n}{k}}$.

Zur bewiesenen Aussage