Kommutativer Halbring/Einführung/Textabschnitt

Wir betrachten algebraische Strukturen, bei denen es wie bei den natürlichen Zahlen zwei Verknüpfungen gibt.

Definition

Ein kommutativer Halbring ${}R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die ${}0$ das neutrale Element ist.
2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die ${}1$ das neutrale Element ist.
3. Es gilt das Distributivgesetz, also

   ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$

   für alle

    ${}a,b,c\in R$. 

Korollar

Die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$

bilden einen kommutativen Halbring.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt und aus Fakt.

$\Box$

Neben den natürlichen Zahlen gibt es viele weitere Halbringe, beispielsweise die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$, die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$, die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ oder die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$.

Wir lassen das Produktzeichen ${}\cdot$ häufig weg, wenn das nicht zu Missverständnissen führen kann und wir benutzen allgemein die Klammerkonvention, dass Punktrechnung stärker bindet als Strichrechnung, d.h. wir schreiben einfach ${}ab+cd$ statt ${}(ab)+(cd)$. An weiteren Notationen verwenden wir (gemäß den oben eingeführten Bezeichnungen für Monoide) für ein Halbringelement  ${}a\in R$  und eine positive natürliche Zahl  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  die Schreibweisen (${}n$-tes Vielfaches von ${}a$ und ${}n$-te Potenz von ${}a$) ${}na=a+\cdots +a\,\,(n{\text{ Summanden}})$ und ${}a^{n}=a\cdots a\,\,(n{\text{ Faktoren}})$. Statt  ${}n1=n1_{R}$  schreiben wir einfach ${}n$ (bzw. manchmal ${}n_{R}$), d.h. jede natürliche Zahl findet sich in jedem Halbring wieder. Die Schreibweise ${}na$ könnte man dann auch als das Produkt

${\left(1+1+\cdots +1\right)}\cdot a$

(mit ${}n$ Einsen) lesen, was aber aufgrund des Distributivgesetzes mit der ${}n$-fachen Summe von ${}a$ mit sich selbst übereinstimmt. Für

${}n=0\,$

ist dies jedenfalls als ${}0\cdot a$ im Halbring zu lesen, was nicht ohne weiteres gleich ${}0$ sein muss (aber in allen für uns wichtigen Beispielen gleich ${}0$ ist). Weiter setzen wir

${}a^{0}=1\,.$

Mit diesen Bezeichnungen gilt nach Fakt beispielsweise

${}(m+n)a=ma+na\,$

und

${}(m\cdot n)a=m\cdot (na)\,$

für natürliche Zahlen  ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$  (man mache sich klar, was hier jeweils die Multiplikation bezeichnet).

Wie bei den natürlichen Zahlen verwenden wir das Summenzeichen ${}\sum$ und das Produktzeichen ${}\prod$. Für indizierte Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ aus ${}R$ ist also

${}\sum _{i=1}^{k}a_{i}=a_{1}+\cdots +a_{k}\,$

und

${}\prod _{i=1}^{k}a_{i}=a_{1}\cdots a_{k}\,.$

Die beiden folgenden extremen Beispiele zeigen, wie verschieden ein Halbring von dem Halbring der natürlichen Zahlen sein kann. Dennoch gelten alle aus den Halbringaxiomen ableitbaren Eigenschaften auch in diesen beiden Beispielen.

Beispiel

Die einelementige Menge  ${}R=\{0\}$  kann man zu einem kommutativen Halbring machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch ${}0+0=0$ und ${}0\cdot 0=0$. In diesem Fall ist  ${}1=0$,  dies ist also ausdrücklich erlaubt. Die Rechengesetze in einem Halbring sind hier trivialerweise erfüllt, da bei jeder zu erfüllenden Gleichung links und rechts sowieso immer ${}0$ herauskommt. Diesen Halbring nennt man den Nullring.

Nach dem Nullring ist der zweitkleinste Halbring der folgende.

Beispiel

Wir suchen nach einer Halbringstruktur auf der Menge ${}\{0,1\}$. Wenn ${}0$ das neutrale Element einer Addition und ${}1$ das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon viel festgelegt. Nach Fakt muss

${}0\cdot 0=0\,$

gelten. Ferner legen wir

${}1+1=0\,$

fest. Die Verknüpfungstabellen (oder Operationstafeln) sehen somit wie folgt aus.

${}+$	${}0$	${}1$
${}0$	${}0$	${}1$
${}1$	${}1$	${}0$

und

${}\cdot$	${}0$	${}1$
${}0$	${}0$	${}0$
${}1$	${}0$	${}1$

Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen kommutativen Halbring handelt.

Eine „natürliche“ Interpretation dieses Halbringes gewinnt man, wenn man sich die geraden natürlichen Zahlen durch ${}0$ und die ungeraden natürlichen Zahlen durch ${}1$ repräsentiert denkt. Beispielsweise ist die Summe zweier ungerader Zahlen stets gerade, was der obigen Gleichung  ${}1+1=0$  entspricht. Wie oben erwähnt lassen sich in jedem kommutativen Halbring die natürlichen Zahlen eindeutig interpretieren, dabei können aber, wie in den beiden Beispielen, verschiedene Zahlen gleich werden. Im Beispiel wird jede gerade Zahl zu ${}0$ und jede ungerade Zahl zu ${}1$.

Lemma

In einem kommutativen Halbring gilt

${}0\cdot 0=0\,.$

Beweis

Dies ergibt sich aus

${}0\cdot 0=0\cdot 0+0=0\cdot 0+0\cdot 1=0\cdot (0+1)=0\cdot 1=0\,.$

$\Box$

Das folgende Beispiel zeigt, dass in einem kommutativen Halbring im Allgemeinen nicht die Gleichung

${}0x=0\,$

für alle ${}x$ gilt. Für die natürlichen Zahlen und in jedem kommutativen Ring gilt diese Eigenschaft. Es ist also keineswegs so, dass man jede von den Zahlenbereichen her vertraute Eigenschaft aus dem Begriff eines kommutativen Halbringes ableiten kann.

Beispiel

Wir suchen nach einer Halbringstruktur auf der dreielementigen Menge ${}\{0,1,u\}$. Wenn ${}0$ das neutrale Element einer Addition und ${}1$ das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon viel festgelegt. Wir legen die Verknüpfungen durch die Verknüpfungstabellen

${}+$	${}0$	${}1$	${}u$
${}0$	${}0$	${}1$	${}u$
${}1$	${}1$	${}1$	${}u$
${}u$	${}u$	${}u$	${}u$

und

${}\cdot$	${}0$	${}1$	${}u$
${}0$	${}0$	${}0$	${}u$
${}1$	${}0$	${}1$	${}u$
${}u$	${}u$	${}u$	${}u$

fest. Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen kommutativen Halbring handelt.

Die folgende Aussage heißt das allgemeine Distributivgesetz.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Halbring und es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus ${}R$.

Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz

${}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}\,.$

Beweis

Wir machen eine Doppelinduktion nach ${}r$ und nach ${}s$. D.h. wir beweisen die Aussage für jedes feste ${}r$ durch Induktion nach ${}s$ (innere Induktion) und erhöhen dann in einem eigenen Induktionsdurchgang ${}r$ (äußere Induktion). Bei  ${}r=0$  ist nichts zu zeigen, da dann die Summen links und rechts leer sind, also gleich ${}0$. Es sei also  ${}r=1$,  sodass der linke Faktor einfach eine fixierte Zahl  ${}a=a_{1}$  ist. Wir wollen die Aussage in dieser Situation für beliebiges ${}s$ zeigen. Bei  ${}s=0,1$  ist die Aussage klar. Es sei die Aussage nun für ein

${}s\geq 2\,$

schon bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}a\cdot {\left(b_{1}+\cdots +b_{s}+b_{s+1}\right)}&=a\cdot {\left({\left(b_{1}+\cdots +b_{s}\right)}+b_{s+1}\right)}\\&=a\cdot {\left(b_{1}+\cdots +b_{s}\right)}+ab_{s+1}\\&={\left(\sum _{k=1}^{s}ab_{k}\right)}+ab_{s+1}\\&=\sum _{k=1}^{s+1}ab_{k}\end{aligned}}$

nach dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung.

Es sei die Aussage nun für ein festes ${}r$ und jedes ${}s$ bewiesen. Dann ist wieder mit dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{r+1}a_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}&={\left({\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}+a_{r+1}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}+a_{r+1}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}+\sum _{k=1}^{s}a_{r+1}b_{k}\\&=\sum _{1\leq i\leq r+1,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}.\end{aligned}}$

$\Box$

Das allgemeine Distributivgesetz gilt auch für mehr als zwei Faktoren, siehe Aufgabe.