Kommutativer Ring/Endliches direktes Produkt/Modul/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Das Produkt $R^{n}$ ist in natürlicher Weise ein Modul. Er besteht aus den $n$ -Tupeln von Elementen aus $R$ :

(r_{1}, \dots, r_{n}) .

Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also

(a_{1}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, \dots, b_{n}) = (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n})

und

s (a_{1}, \dots, a_{n}) = (s a_{1}, \dots, s a_{n}) .

Die Elemente der Form

e_{i} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)

mit der $1$ an der $i$ -ten Stelle nennt man den $i$ -ten Standardvektor.