Kommutativer Ring/Endliches direktes Produkt/Modul/Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Das Produkt ${}R^{n}$ ist in natürlicher Weise ein Modul. Er besteht aus den ${}n$-Tupeln von Elementen aus ${}R$:

$(r_{1},\ldots ,r_{n}).$

Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also

${}(a_{1},\ldots ,a_{n})+(b_{1},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})\,$

und

${}s(a_{1},\ldots ,a_{n})=(sa_{1},\ldots ,sa_{n})\,.$

Die Elemente der Form

${}e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\,$

mit der ${}1$ an der ${}i$-ten Stelle nennt man den ${}i$-ten Standardvektor.