Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}{\mathfrak {a}}_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, Ideale mit  ${}{\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=R$  für alle  ${}i\neq j$.  Zeige, dass

${}R/{\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n}\cong R/{\mathfrak {a}}_{1}\times \cdots \times R/{\mathfrak {a}}_{n}\,$

gilt.

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