Kommutativer Ring/Ideale/Chinesischer Restsatz/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe/Lösung

Es sei  ${}r\in R/I\cap J$  gegeben mit

${}(r,r)=0\,$

in ${}R/I\times R/J$. Dann sind beide Komponenten gleich ${}0$ und daher ist  ${}r\in I$  und  ${}r\in J$.  Also ist  ${}r\in I\cap J$  und daher ist links  ${}r=0$,  die Abbildung links ist also injektiv.

Die zusammengesetze Abbildung ist durch

$r\longmapsto (r,r)\longmapsto r-r$

gegeben, ist also die Nullabbildung. Wenn umgekehrt ${}(s,t)$ rechts auf ${}0$ abgebildet wird, so bedeutet dies  ${}s-t\in I+J$,  sagen wir

${}s-t=a+b\,$

mit  ${}a\in I$  und  ${}b\in J$.  Dann ist

${}s-a=t+b\,$

in ${}R$. Dieses Element repräsentiert ebenso das Element ${}(s,t)$, dieses kommt also von links.

Die Surjektivität hinten ergibt sich direkt, wenn man  ${}t=0$ 

setzt.

Zur gelösten Aufgabe