Kommutativer Ring/Modul/Erzeugendensystem/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $M$ ein Modul über dem kommutativen Ring $R$ und seien $v_{1}, \dots, v_{n}$ Elemente aus $M$ . Dann heißt das Element

s_{1} v_{1} + s_{2} v_{2} + \dots + s_{n} v_{n} mit s_{i} \in R

eine Linearkombination dieser Elemente (zum Koeffiziententupel $(s_{1}, \dots, s_{n})$ ).

Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Eine Familie $v_{i} \in M$ , $i \in I$ , heißt Erzeugendensystem für $M$ , wenn es für jedes Element $v \in M$ eine Darstellung

v = \sum_{i \in J} r_{i} v_{i}

gibt, wobei $J \subseteq I$ endlich ist und $r_{i} \in R$ .

Im $R^{n}$ bilden die Standardvektoren $e_{i}$ , $1 \leq i \leq n$ , ein Erzeugendensystem. Im Polynomring $R [X]$ über einem kommutativen Ring $R$ bilden die Potenzen $X^{n}$ , $n \in ℕ$ , ein (unendliches) Erzeugendensystem.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Zu einer Familie $v_{i}$ , $i \in I$ aus $M$ setzt man

⟨ v_{i}, i \in I ⟩ = {\sum_{i \in J} s_{i} v_{i} ∣ s_{i} \in R, J \subseteq I endliche Teilmenge}

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untermodul.

Der von der leeren Menge erzeugte Unterraum ist der Nullraum.^[1] Dieser wird ebenso von der $0$ erzeugt. Zu einem einzigen Vektor $v$ besteht der aufgespannte Modul aus $R v = {s v ∣ s \in K}$ , er ist also zyklisch im Sinne der folgenden Definition.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. $M$ heißt zyklisch, wenn $M$ von einem Element erzeugt wird, wenn also gilt $M = R x$ für ein $x \in M$ .

Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Untermoduln zusammen.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Dann gelten folgende Aussagen.

Es sei $U_{j}$ , $j \in J$ , eine Familie von Untermoduln. Dann ist auch der Durchschnitt
$U = ⋂_{j \in J} U_{j}$

ein Untermodul.

Zu einer Familie $v_{i}$ , $i \in I$ , von Elementen in $M$ ist der erzeugte Untermodul ein Untermodul von $M$ .

Die Familie $v_{i}$ , $i \in I$ , ist genau dann ein Erzeugendensystem von $M$ , wenn
$⟨ v_{i}, i \in I ⟩ = M$

ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

◻

↑ Dies kann man als Definition nehmen oder aber aus der Definition ableiten, wenn man die Konvention berücksichtigt, dass die leere Summe gleich $0$ ist.

[1] Dies kann man als Definition nehmen oder aber aus der Definition ableiten, wenn man die Konvention berücksichtigt, dass die leere Summe gleich $0$ ist.

[1]