Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Modul/Stabil/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen aus von der Multiplikation

${\mathfrak {a}}^{d}\times M_{n}\longrightarrow M_{d+n},\,(f,v)\longmapsto fv,$

die wegen der Filtrationsbedingung ${}{\mathfrak {a}}^{d}M_{n}\subseteq M_{d+n}$ wohldefiniert ist. Wegen ${}{\mathfrak {a}}^{d+1}M_{n}\subseteq M_{d+n+1}$ und ${}{\mathfrak {a}}^{d}M_{n+1}\subseteq M_{d+n+1}$ induziert dies eine Abbildung

${\mathfrak {a}}^{d}/{\mathfrak {a}}^{d+1}\times M_{n}/M_{n+1}\longrightarrow M_{d+n}/M_{d+n+1},\,([f],[v])\longmapsto [fv].$

Die Gesamtheit dieser Abbildung ergibt eine Abbildung

$\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R\times \operatorname {Gr} _{F}M\longrightarrow \operatorname {Gr} _{F}M,$

die ${}\operatorname {Gr} _{F}M$ zu einem graduierten ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul macht.

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit sei ${}M_{n+1}={\mathfrak {a}}M_{n}$ für ${}n\geq n_{0}$. Es ist dann

${}{\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}{\left(M_{n}/M_{n+1}\right)}=M_{n+1}/M_{n+2}\,$

für ${}n\geq n_{0}$. Eine Vereinigung von Erzeugern der ${}M_{0}/M_{1},M_{1}/M_{2},\ldots ,M_{n}/M_{n+1}$ ist ein Erzeugendensystem für den graduierten Modul.

Zur bewiesenen Aussage