Kommutativer Ring/Modul/Linear unabhängig/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul,  ${}R\neq 0$.  Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge  ${}J\subseteq I$  die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in J$, linear unabhängig.
2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.

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