Kommutativer Ring/Spektrum/Abschluss/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Für  ${}y\in T$  ist  ${}y\in V\left({\mathfrak {p}}_{y}\right)\subseteq V\left(\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\right)$,  sodass die angegebene Menge eine abgeschlossene Menge ist, die ${}T$ umfasst. Es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal mit  ${}{\mathfrak {q}}\in V\left(\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\right)$,  also  ${}\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\subseteq {\mathfrak {q}}$.  Um zu zeigen, dass ${}{\mathfrak {q}}$ auch zum Abschluss von ${}T$ gehört, muss man zeigen, dass ${}T$ jede offene Umgebung von ${}{\mathfrak {q}}$ schneidet. Es sei also  ${}{\mathfrak {q}}\in D(f)$,  d.h.  ${}f\notin {\mathfrak {q}}$.  Dann ist auch  ${}f\notin \bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}$  und somit gibt es ein  ${}x\in T$  mit  ${}f\notin {\mathfrak {p}}_{x}$.  Also ist  ${}{\mathfrak {p}}_{x}\in D(f)$  und somit  ${}T\cap D(f)\neq \emptyset$. 
(2) ist ein Spezialfall von (1).
(3) folgt aus (2).

Zur bewiesenen Aussage