Kommutativer Ring/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$.  Dann heißt ein Element  ${}t\in R$  gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt (${}i=1,\ldots ,k$). Ein Element  ${}g\in R$  heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn ${}1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Bemerkung  

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ist ${}t$ ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ und ${}u$ eine Einheit, so ist auch ${}ut$ ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$. Ein größter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  und  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$  das davon erzeugte Ideal.

Ein Element  ${}t\in R$  ist ein gemeinsamer Teiler von  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  genau dann, wenn  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$  ist,

und ${}t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes  ${}s\in R$  mit  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (s)$  folgt, dass  ${}(t)\subseteq (s)$  ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${}{\mathfrak {a}}$.

Beweis

Aus  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$  folgt sofort  ${}(a_{i})\subseteq (t)$  für  ${}i=1,\ldots ,k$,  was gerade bedeutet, dass ${}t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt ${}t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist  ${}a_{i}\in (t)$  und da  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$  das kleinste Ideal ist, das alle ${}a_{i}$ enthält, muss  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$  gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

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