Kommutativer Ring/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$. Dann heißt ein Element ${}t\in R$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt (${}i=1,\ldots ,k$). Ein Element ${}g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn ${}1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Bemerkung  

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ein größter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Ist ${}t$ ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ und ${}u$ eine Einheit, so ist auch ${}ut$ ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$. Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das davon erzeugte Ideal.

Ein Element ${}t\in R$ ist ein gemeinsamer Teiler von ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ ist,

und ${}t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes ${}s\in R$ mit ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (s)$ folgt, dass ${}(t)\subseteq (s)$ ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${}{\mathfrak {a}}$.

Beweis

Aus ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort ${}(a_{i})\subseteq (t)$ für ${}i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass ${}t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt ${}t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist ${}a_{i}\in (t)$ und da ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das kleinste Ideal ist, das alle ${}a_{i}$ enthält, muss ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

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