Kommutatives Monoid/Verschiedene Konzepte/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt endlich erzeugt, wenn es Elemente  ${}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$  gibt derart, dass man jedes  ${}m\in M$  als

${}m=\sum _{j=1}^{n}a_{j}m_{j}\,$

mit  ${}a_{j}\in \mathbb {N}$  schreiben kann.

Definition

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt spitz, wenn ${}0$ das einzige invertierbare Element in ${}M$ ist.

Definition

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt torsionsfrei, wenn für  ${}m,n\in M$  aus  ${}rm=rn$  für eine positive Zahl  ${}r\in \mathbb {N} _{+}$  stets  ${}m=n$  folgt.

Wenn ${}M$ ein endlich erzeugtes, torsionsfreies Monoid mit Kürzungsregel ist, so ist die zugehörige Differenzengruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$ und wird auch das Differenzengitter zu ${}M$ genannt.

Definition

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$. Dann heißt das Untermonoid

${}{\tilde {M}}={\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}}\,$

die Normalisierung von ${}M$.

Ein Monoid heißt normal, wenn es ein torsionsfreies Monoid mit Kürzungsregel ist und mit seiner Normalisierung übereinstimmt.