Kommutatives Monoid/Verschiedene Konzepte/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt endlich erzeugt, wenn es Elemente ${}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$ gibt derart, dass man jedes ${}m\in M$ als

${}m=\sum _{j=1}^{n}a_{j}m_{j}\,$

mit ${}a_{j}\in \mathbb {N}$ schreiben kann.

Definition

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt spitz, wenn ${}0$ das einzige invertierbare Element in ${}M$ ist.

Definition

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt torsionsfrei, wenn für ${}m,n\in M$ aus ${}rm=rn$ für eine positive Zahl ${}r\in \mathbb {N} _{+}$ stets ${}m=n$ folgt.

Wenn ${}M$ ein endlich erzeugtes, torsionsfreies Monoid mit Kürzungsregel ist, so ist die zugehörige Differenzengruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$ und wird auch das Differenzengitter zu ${}M$ genannt.

Definition

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$. Dann heißt das Untermonoid

${}{\tilde {M}}={\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}}\,$

die Normalisierung von ${}M$.

Ein Monoid heißt normal, wenn es ein torsionsfreies Monoid mit Kürzungsregel ist und mit seiner Normalisierung übereinstimmt.