Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Grad/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine zusammenhängende kompakte riemannsche Fläche und

ein Divisor auf . Man nennt den Grad des Divisors.



Satz  

Es sei eine zusammenhängende kompakte riemannsche Fläche.

Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich .

Beweis  

Dies folgt aus Fakt.




Satz  

Die Divisorenklassengruppe der projektiven Geraden

ist .

Beweis  

Wir zeigen, dass jeder Divisor vom Grad ein Hauptdivisor ist. Sei also ein Divisor mit . Wir können annehmen, dass die Ordnung am unendlich fernen Punkt gleich ist, so dass die relevanten Punkte sich in

befinden. Wir trennen nach Nullstellen- und Polstellendivisor und schreiben

mit disjunkten endlichen Mengen und und mit , wobei wegen der Gradvoraussetzung die beiden Teildivisoren den gleichen Grad besitzen. Wir betrachten die rationale Funktion

Diese besitzt in den Punkten aus die vorgegebenen Ordnungen. Sie kann als meromorphe Funktion auf der gesamten projektiven Geraden aufgefasst werden und hat im unendlich fernen Punkt wegen der Gleichgradigkeit von Zähler und Nenner den Wert als Limes.