Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}T$ nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ ein ${}x_{n}\in T$ mit ${}d{\left(x_{n},0\right)}\geq n$. Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn ${}T$ nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Fakt eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die gegen ein ${}x\in \mathbb {R} ^{m},\,x\not \in T$, konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen ${}x$, sodass es keine in ${}T$ konvergente Teilfolge geben kann.

Es sei nun ${}T$ abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge ${}{\left(x_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente ${}i=1$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge ${}{\left(x_{n_{j}}\right)}_{j\in \mathbb {N} }$ derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Fakt konvergiert dann die gesamte Teilfolge in ${}\mathbb {R} ^{m}$. Da ${}T$ abgeschlossen ist, liegt nach Fakt der Grenzwert in ${}T$.

Zur bewiesenen Aussage