Kompaktheit/R^n/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Teilmenge $T \subseteq ℝ^{m}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Satz

Es sei $T \subseteq ℝ^{m}$ eine Teilmenge.

Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn jede Folge in $T$ eine in $T$ konvergente Teilfolge besitzt.

Wenn $T$ nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n \in ℕ$ ein $x_{n} \in T$ mit $d (x_{n}, 0) \geq n$ . Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn $T$ nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Fakt eine Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ in $T$ , die gegen ein $x \in ℝ^{m}, x \in̸ T$ , konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen $x$ , sodass es keine in $T$ konvergente Teilfolge geben kann.

Es sei nun $T$ abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ} \in T$ vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge ${(x_{i n})}_{n \in ℕ}$ beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente $i = 1$ . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge ${(x_{n_{j}})}_{j \in ℕ}$ derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Fakt konvergiert dann die gesamte Teilfolge in $ℝ^{m}$ . Da $T$ abgeschlossen ist, liegt nach Fakt der Grenzwert in $T$ .

◻

Satz

Es sei $T \subseteq ℝ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei

f : T ⟶ M

eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum $M$ .

Dann ist $f$ gleichmäßig stetig.

Beweis

Wir nehmen an, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein $ϵ > 0$ derart, dass für kein $δ > 0$ die Beziehung $f (U (x, δ)) \subseteq U (f (x), ϵ)$ für alle $x \in T$ erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes $n \in ℕ_{+}$ ein Paar $x_{n}, y_{n} \in T$ mit $d (x_{n}, y_{n}) \leq \frac{1}{n}$ , aber mit $d (f (x_{n}), f (y_{n})) \geq ϵ$ . Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Fakt eine Teilfolge $(x_{n})_{n \in N}$ (dabei ist $N \subseteq ℕ$ unendlich) von ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ , die gegen ein $x \in T$ konvergiert. Die entsprechende Teilfolge $(y_{n})_{n \in N}$ konvergiert ebenfalls gegen $x$ . Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen $(f (x_{n}))_{n \in N}$ und $(f (y_{n}))_{n \in N}$ gegen $f (x)$ . Dies ergibt aber einen Widerspruch, da $d (f (x_{n}), f (y_{n})) \geq ϵ$ ist.

◻

Satz

Es sei $T \subseteq ℝ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und

f : T ⟶ ℝ^{m}

eine stetige Abbildung.

Dann ist auch das Bild $f (T)$ kompakt.

Beweis

Es sei ${(y_{n})}_{n \in ℕ} \in f (T)$ eine Folge, wobei wir $y_{n} = f (x_{n})$ mit $x_{n} \in T$ schreiben können. Da $T$ kompakt ist, gibt es nach Fakt eine konvergente Teilfolge $x_{n_{i}}, i \in ℕ$ , die gegen ein $x \in T$ konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit konvergiert auch die Bildfolge $y_{n_{i}} = f (x_{n_{i}})$ gegen $f (x)$ . Damit ist eine konvergente Teilfolge gefunden und $f (T)$ ist kompakt nach Fakt.

◻

Satz

Es sei $T \subseteq ℝ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

f : T ⟶ ℝ

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein $x \in T$ mit

$f (x) \geq f (x^{'}) für alle x^{'} \in T .$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Beweis

Aufgrund von Fakt ist $f (T)$ kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist $f (T) \leq M$ für eine reelle Zahl $M$ . Wegen $T \neq \emptyset$ besitzt $f (T)$ wegen Fakt ein Supremum $s$ in $ℝ$ , das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu $f (T)$ gehört, also das Maximum von $f (T)$ ist. Daher gibt es auch ein $x \in T$ mit $f (x) = s$ .

◻

Lemma

Es sei $P \in 𝕂 [X]$ ein Polynom.

Dann gibt es ein $w \in 𝕂$ mit

$| P (z) | \geq | P (w) |$

für alle $z \in 𝕂$ .

D.h. das Minimum des Betrags eines Polynoms wird angenommen.

Beweis

Es sei

P (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}

(mit $a_{n} \neq 0$ ). Wir setzen $a := max (| a_{i} |, i = 0, \dots, n - 1)$ und $r := max (\frac{n a + | a_{0} | + 1}{| a_{n} |}, 1)$ . Bei $n = 0$ ist die Aussage klar, sei also $n \geq 1$ . Für $z$ mit $| z | \geq r$ gelten die Abschätzungen

\begin{matrix} | P (z) | & \geq | a_{n} z^{n} | - | \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} z^{i} | \\ \geq | a_{n} | | z |^{n} - \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | | z |^{i} \\ \geq | a_{n} | | z |^{n} - \sum_{i = 0}^{n - 1} a | z |^{n - 1} \\ \geq | z |^{n - 1} (| a_{n} | | z | - n a) \\ \geq | a_{0} | + 1 \\ > | a_{0} | . \end{matrix}

Auf der kompakten Menge $B (0, r)$ nimmt die stetige Funktion $z \mapsto | P (z) |$ nach Fakt ihr Minimum an, d.h. es gibt ein $w \in B (0, r)$ mit $| P (z) | \geq | P (w) |$ für alle $z \in B (0, r)$ . Wegen $| a_{0} | = | P (0) | \geq | P (w) |$ und der Überlegung für $z$ mit $| z | \geq r$ ergibt sich, dass im Punkt $w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.

◻