Komplexe Exponentialfunktion/Bild/Aufgabe/Lösung

Es sei  ${}w\in {\mathbb {C} }$,   ${}w\neq 0$,  vorgegeben. Nach Fakt gibt es eine reelle Zahl  ${}r>0$  und ein  ${}\varphi \in [0,2\pi [$  mit

${}w=r\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)\,.$

Nach Fakt gibt es ein  ${}x\in \mathbb {R}$  mit  ${}r=\exp x$.  Mit der Funktionalgleichung ist

${}w=r\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)=\exp \left(x+{\mathrm {i} }\varphi \right)\,.$

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