Komplexe Exponentialfunktion/Bild/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}w\in {\mathbb {C} }$, ${}w\neq 0$, vorgegeben. Nach Fakt gibt es eine reelle Zahl ${}r>0$ und ein ${}\varphi \in [0,2\pi [$ mit

${}w=r\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)\,.$

Nach Fakt gibt es ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}r=\exp x$. Mit der Funktionalgleichung ist

${}w=r\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)=\exp \left(x+{\mathrm {i} }\varphi \right)\,.$

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