Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Differentialformen/Zerlegung/Textabschnitt

Wir setzen

${}E^{(1)}=\biguplus _{P\in M}\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\,,$

dies ist ein reelles Vektorbündel über ${}M$ vom Rang ${}4n$, wenn ${}n$ die komplexe Dimension von ${}M$ bezeichnet. Lokal besitzt es eine Darstellung der Form ${}U\times \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left({\mathbb {C} }^{n},{\mathbb {C} }\right)}$ für ein Kartengebiet ${}U$. Daher ist auch klar, was man unter einem stetigen oder einem differenzierbaren Schnitt in diesem Bündel versteht. Das Bündel besitzt ferner eine Zerlegung

${}E^{(1)}=T^{*}M\oplus {\overline {T}}^{*}M\,$

in das holomorphe und das antiholomorphe Kotangentialbündel, das analog zum holomorphen Kotangentialbündel definiert wird.

Definition

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Unter einer differenzierbaren 1-Form auf ${}M$ versteht man eine ${}C^{\infty }$-Abbildung

$\omega \colon M\longrightarrow E^{(1)}=\biguplus _{P\in M}\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$

mit  ${}\omega (P)\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$. 

Die Menge aller differenzierbaren 1-Formen auf ${}M$ wird mit ${}{\mathcal {E}}^{(1)}(M)$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare 1-Form  ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)$  heißt vom Typ ${}(1,0)$, wenn  ${}\omega (P)\in T_{P}^{*}M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$  für alle  ${}P\in M$  ist.

Insbesondere ist eine holomorphe Differentialform eine ${}(1,0)$-Form. Wenn ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform ist und ${}f$ eine reell-differenzierbare komplexwertige Funktion, so ist ${}f\omega$ eine ${}(1,0)$-Form, aber nur bei ${}f$ holomorph selbst wieder eine holomorphe Differentialform.

Definition

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare 1-Form  ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)$  heißt vom Typ ${}(0,1)$, wenn  ${}\omega (P)\in {\overline {T}}_{P}^{*}M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$  für alle  ${}P\in M$  ist.

Beispiel

Auf einer offenen Menge  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  mit der Variablen ${}z$ ist ${}dz$ diejenige holomorphe Differentialform, die in jedem Punkt die Identität auf (dem Tangentialraum) ${}{\mathbb {C} }$ ist und ${}d\,{\overline {z}}$ ist diejenige differenzierbare Differentialform, die in jedem Punkt die komplexe Konjugation auf ${}{\mathbb {C} }$ ist. Eine beliebige reell-differenzierbare Differentialform ${}\omega$ auf ${}U$ besitzt die Darstellung

${}\omega =fdz+gd\,{\overline {z}}\,$

mit komplexwertigen ${}C^{\infty }$-Funktionen ${}f$ und ${}g$ auf ${}U$, und dies ist die Zerlegung von ${}\omega$ im Sinne von Fakt. Die Form ist vom Typ ${}(1,0)$ genau dann, wenn  ${}g=0$  ist. In diesem Fall ist die Form genau dann holomorph, wenn ${}f$ eine holomorphe Funktion ist.

Lemma

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ bilden die differenzierbaren 1-Formen ${}{\mathcal {E}}^{(1)}$ und die differenzierbaren 1-Formen ${}{\mathcal {E}}^{(1,0)}$ bzw. ${}{\mathcal {E}}^{(0,1)}$ vom Typ ${}(1,0)$ bzw. ${}(0,1)$

Garben.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Die Garbe der holomorphen Differentialformen ${}\Omega _{X}$ ist eine Untergarbe der Garbe der ${}(1,0)$-Formen.

Lemma

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ besitzt die Garbe der differenzierbaren 1-Formen ${}{\mathcal {E}}^{(1)}$

eine kanonische Zerlegung

${}{\mathcal {E}}^{(1)}={\mathcal {E}}^{(1,0)}\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Die Funktionen  ${}f\in {\mathcal {E}}{\left(M\right)}$  sind unendlich oft differenzierbar, was eine lokale Eigenschaft ist, es gibt aber keine Ableitungsfunktion auf ${}M$. Stattdessen ist die Ableitung eine differenzierbare ${}1$-Form, nämlich ${}df$, also für jeden Punkt  ${}P\in M$  die ${}\mathbb {R}$-lineare Abbildung

$d_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

So erhält man eine Gesamtableitung

$d\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)},\,f\longmapsto df,$

bzw. die Garbenversion davon auf jeder offenen Menge. Mit der in Fakt gezeigten Zerlegung  ${}{\mathcal {E}}^{(1)}={\mathcal {E}}^{(1,0)}\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}$  erhält man auch die holomorphe Ableitung

$d^{h}\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1,0)}}{\left(M\right)},\,f\longmapsto d^{h}f,$

und die antiholomorphe Ableitung

$d^{a}\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(0,1)}}{\left(M\right)},\,f\longmapsto d^{a}f.$

Lokal kann man diese Abbildungen folgendermaßen beschreiben. Für eine offene Teilmenge  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  mit den komplexen Koordinatenfunktionen

${}z_{j}=x_{j}+y_{j}{\mathrm {i} }\,$

mit den reellwertigen Koordinatenfunktionen ${}x_{j},y_{j}$ und eine reell-differenzierbare komplexwertige Funktion ${}f$ setzt man daher

${}{\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{j}}}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\,.$

Lemma

Es sei ${}f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine differenzierbare Funktion auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ und es sei

${}df=d^{h}f+d^{a}f\,$

die kanonische Zerlegung der zugehörigen Differentialform  ${}df\in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)={\mathcal {E}}^{(1,0)}(M)\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}(M)$.  Es sei  ${}U\subseteq M$  ein Kartengebiet mit lokalen Koordinaten ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$.

Dann gelten auf ${}U$ die Identitäten

${}d^{h}f=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}\,$

und

${}d^{a}f=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j}\,.$

Beweis

Wir können direkt  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  annehmen. Sei

${}z_{j}=x_{j}+{\mathrm {i} }y_{j}\,.$

Es ist

${}{\begin{aligned}df&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\right)}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}{\left({\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}{\left(dx_{j}+{\mathrm {i} }dy_{j}\right)}+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}{\left(dx_{j}-{\mathrm {i} }dy_{j}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}{\left({\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}dz_{j}+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}d{\overline {z}}_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j},\end{aligned}}$

und die Summe links gehört zu ${}{\mathcal {E}}^{(1,0)}$.

$\Box$