Komplexe Mannigfaltigkeit/Funktorielle Eigenschaften des Tangentialraums/Textabschnitt

Zu einer holomorphen Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

mit ${}G\subseteq {\mathbb {C} }^{m}$ offen ist zu einem Punkt ${}P\in G$ das totale Differential

$\left(D\varphi \right)_{P}\colon {\mathbb {C} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

die lineare Approximation der Abbildung in dem Punkt. Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit kann man ebenfalls eine holomorphe Abbildung durch eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen approximieren.

Lemma

Es seien ${}M$ und ${}N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine holomorphe Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$ und es seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon B\longrightarrow M$

zwei holomorphe Kurven mit einem offenen Ball ${}0\in B$ und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$. Es seien ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ im Punkt ${}P$ tangential äquivalent.

Dann sind auch die Verknüpfungen ${}\varphi \circ \gamma _{1}$ und ${}\varphi \circ \gamma _{2}$ tangential äquivalent in ${}Q$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Aufgrund dieses Lemmas ist der folgende Begriff wohldefiniert.

Definition

Es seien ${}M$ und ${}N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine holomorphe Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die Abbildung

$T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ],$

die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt ${}P$. Sie wird mit ${}T_{P}(\varphi )$ bezeichnet.

Lemma

Es seien ${}M$ und ${}N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine holomorphe Abbildung. Es sei ${}P\in M$ , ${}Q=\varphi (P)$ und es sei

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$

die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}M\subseteq {\mathbb {C} }^{m}$ und ${}N\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offene Teilmengen sind und die Tangentialräume mit den umgebenden komplexen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem totalen Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$.
2. Wenn

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq {\mathbb {C} }^{m}$ und

   $\beta \colon U'\longrightarrow W$

   mit ${}Q\in U'$ und ${}W\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ Karten sind, so ist das Diagramm

   ${\begin{matrix}T_{p}M&{\stackrel {T_{P}\varphi }{\longrightarrow }}&T_{Q}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }^{m}&{\stackrel {\left(D{\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}\right)_{\alpha (P)}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen ${}[\gamma ]\mapsto (\alpha \circ \gamma )'(0)$ bzw. ${}[\delta ]\mapsto (\beta \circ \delta )'(0)$ gegeben sind.

3. ${}T_{P}(\varphi )$ ist ${}{\mathbb {C} }$-linear.
4. Wenn ${}L$ eine weitere komplexe Mannigfaltigkeit, ${}R\in L$ und

   $\psi \colon L\longrightarrow M$

   eine weitere holomorphe Abbildung mit ${}\psi (R)=P$ ist, so gilt

   ${}T_{R}(\varphi \circ \psi )=T_{P}(\varphi )\circ T_{R}(\psi )\,.$

5. Wenn ${}\varphi$ eine biholomorphe Abbildung ist, dann ist ${}T_{P}(\varphi )$ ein Isomorphismus.
6. Für eine holomorphe Kurve

   $\gamma \colon B\longrightarrow M$

   mit einem offenen Ball ${}B\subseteq {\mathbb {C} }$, ${}0\in B$ und ${}\gamma (0)=P$ gilt im Tangentialraum ${}T_{P}M$ die Gleichheit

   ${}[\gamma ]=(T_{0}(\gamma ))(1)\,.$

Beweis

(1). Jeder Tangentialvektor wird repräsentiert durch einen affin-linearen Weg ${}z\mapsto \gamma (z)=P+zv$ mit einem Vektor ${}v\in {\mathbb {C} }^{m}$, so dass wir zwischen diesen Vektoren und den durch sie definierten Tangentialvektoren hin- und herwechseln können. Für den zusammengesetzten Weg ${}\varphi \circ \gamma$ gilt nach der Kettenregel

${}(T_{P}\varphi )([\gamma ])=[\varphi \circ \gamma ]=(\varphi \circ \gamma )'(0)=(D\varphi )_{P}\left({\left(D\gamma \right)}_{0}{\left(1\right)}\right)={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$

(2). Die Kettenregel angewendet auf (wobei man eventuell ${}B$ und ${}V$ durch kleinere offene Mengen ersetzen muss)

$B{\stackrel {\alpha \circ \gamma }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}W$

liefert

${\left(D\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)\right)}_{\alpha (P)}{\left((\alpha \circ \gamma )'(0)\right)}=(\beta \circ (\varphi \circ \gamma ))'(0)\,,$

was gerade die Kommutativität des Diagramms ist.
(3). Die Aussage folgt aus (2) und der Linearität des totalen Differentials.
(4). Durch Übergang zu Karten folgt dies aus (2) und der Kettenregel.
(5) folgt aus (4) angewendet auf die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$.
(6). Das Element ${}1\in {\mathbb {C} }$ ist als Tangentenvektor an einem Punkt ${}a\in B$ als der Weg ${}s\mapsto a+s$ zu interpretieren. Bei ${}a=0$ ist dies der identische Weg. Daher ist

${}(T_{0}(\gamma ))(1)=(T_{0}(\gamma ))(\operatorname {Id} )=[\gamma \circ \operatorname {Id} ]=[\gamma ]\,.$

$\Box$