Konjugationsklassen/Klassengleichung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer Gruppe ${}G$ nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.

Zwei Elemente ${}a,b\in G$ sind also konjugiert, wenn es ein ${}x\in G$ mit ${}b=xax^{-1}$ gibt.

Die folgende Aussage heißt Klassengleichung.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und seien ${}K_{1},\ldots ,K_{r}$ die Konjugationsklassen von ${}G$ mit mindestens zwei Elementen.

Dann ist

${}\operatorname {ord} _{}^{}{\left(G\right)}=\operatorname {ord} _{}^{}{\left(Z(G)\right)}+\sum _{i=1}^{r}{\#\left(K_{i}\right)}\,.$

Beweis

Die Konjugationsklassen sind Äquivalenzklassen, daher bilden sie eine Zerlegung von ${}G$. Die Summe der Anzahl der Elemente in den Konjugationsklassen ist daher gleich der Ordnung von ${}G$. Die einelementigen Konjugationsklassen entsprechen dabei den Elementen im Zentrum der Gruppe.

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Die Anzahl der Elemente in den einzelnen Konjugationsklassen unterliegt starken Einschränkungen, die das folgende Lemma beinhaltet.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und sei ${}a\in G$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Menge ${}G_{a}={\left\{x\in G\mid xax^{-1}=a\right\}}$ ist eine Untergruppe von ${}G$.
2. Sei ${}K=[a]$ die Konjugationsklasse zu ${}a$. Dann ist

   ${}{\#\left(K\right)}=\operatorname {ind} _{G}G_{a}\,.$

3. Die Elementanzahl von ${}K=[a]$ ist ein Teiler von ${}\operatorname {ord} {\left(G\right)}$.

Beweis

(1). Es ist klar, dass das neutrale Element zu ${}G_{a}$ gehört. Es seien ${}x,y\in G_{a}$. Dann ist

${}xya(xy)^{-1}=xyay^{-1}x^{-1}=xax^{-1}=a\,,$

also ${}xy\in G_{a}$. Bei ${}x\in G_{a}$ ist ${}xax^{-1}=a$, was man direkt zu ${}a=x^{-1}ax$ auflösen kann, was wiederum ${}x^{-1}\in G_{a}$ bedeutet.
(2). Wir betrachten die Abbildung

$G\longrightarrow K,\,x\longmapsto xax^{-1}.$

Da ${}K$ genau aus allen zu ${}a$ konjugierten Elementen besteht, ist diese Abbildung surjektiv. Unter dieser Abbildung ist ${}G_{a}$ das Urbild von ${}a$. Es gilt ${}xax^{-1}=yay^{-1}$ genau dann, wenn ${}y^{-1}xax^{-1}y=a$ ist, also genau dann, wenn ${}y^{-1}x\in G_{a}$ ist. Das bedeutet, dass die Fasern der Abbildung gerade die Linksnebenklassen zur Untergruppe ${}G_{a}$ sind. Daher ist ${}{\#\left(K\right)}$ gleich dem Index von ${}G_{a}$ in ${}G$.
(3) folgt aus (2) und Fakt.

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Lemma

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}G$ eine endliche Gruppe mit ${}p^{r}$, ${}r\geq 1$, Elementen.

Dann ist das Zentrum ${}Z$ von ${}G$ nicht trivial.

Beweis

Wir gehen von der Klassengleichung aus, also von

${}\operatorname {ord} {\left(G\right)}=\operatorname {ord} {\left(Z\right)}+\sum _{j\in J}n_{j}\,,$

wobei ${}n_{j}$ den Index der zu den mehrelementigen Konjugationsklassen ${}C_{j}$ gehörenden echten Untergruppen (im Sinne von Fakt) ${}G_{j}\subseteq G$ bezeichnet. Jedes ${}n_{j}$ ist nach Fakt  (3) ein Vielfaches von ${}p$. Daher ist auch ${}\operatorname {ord} {\left(Z\right)}$ ein Vielfaches von ${}p$. Somit ist ${}Z$ nicht trivial.

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