Konjugationsklassen/Klassengleichung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Zu einer Gruppe nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.

Zwei Elemente sind also konjugiert, wenn es ein mit gibt.

Die folgende Aussage heißt Klassengleichung.



Lemma  

Sei eine endliche Gruppe und seien die Konjugationsklassen von mit mindestens zwei Elementen.

Dann ist

Beweis  

Die Konjugationsklassen sind Äquivalenzklassen, daher bilden sie eine Zerlegung von . Die Summe der Anzahl der Elemente in den Konjugationsklassen ist daher gleich der Ordnung von . Die einelementigen Konjugationsklassen entsprechen dabei den Elementen im Zentrum der Gruppe.


Die Anzahl der Elemente in den einzelnen Konjugationsklassen unterliegt starken Einschränkungen, die das folgende Lemma beinhaltet.



Lemma  

Sei eine endliche Gruppe und sei . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Menge ist eine Untergruppe von .
  2. Sei die Konjugationsklasse zu . Dann ist
  3. Die Elementanzahl von ist ein Teiler von .

Beweis  

(1). Es ist klar, dass das neutrale Element zu gehört. Seien . Dann ist

also . Bei ist , was man direkt zu auflösen kann, was wiederum bedeutet.
(2). Wir betrachten die Abbildung

Da genau aus allen zu konjugierten Elementen besteht, ist diese Abbildung surjektiv. Unter dieser Abbildung ist das Urbild von . Es gilt genau dann, wenn ist, also genau dann, wenn ist. Das bedeutet, dass die Fasern der Abbildung gerade die Linksnebenklassen zur Untergruppe sind. Daher ist gleich dem Index von in .
(3) folgt aus (2) und Fakt.




Lemma  

Es sei eine Primzahl und eine endliche Gruppe mit , , Elementen.

Dann ist das Zentrum von nicht trivial.

Beweis  

Wir gehen von der Klassengleichung aus, also von

wobei den Index der zu den mehrelementigen Konjugationsklassen gehörenden echten Untergruppen (im Sinne von Fakt) bezeichnet. Jedes ist nach Fakt  (3) ein Vielfaches von . Daher ist auch ein Vielfaches von . Somit ist nicht trivial.