Konvexe Funktionen/Einleitung/Textabschnitt

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Eine konvexe Teilmenge.
Eine nichtkonvexe Teilmenge.



Definition  

Eine Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

ebenfalls zu gehört.


Definition  

Sei eine Teilmenge und

eine Funktion. Dann nennt man die Menge

den Subgraphen und

den Epigraphen der Funktion.

Subgraph und Epigraph sind nach unten bzw. nach oben unbeschränkt. Im Kontext der Integrationstheorie interessiert man sich für den positiven Subgraphen, der durch die -Achse nach unten beschränkt ist. Der Graph der Funktion gehört sowohl zum Subgraphen als auch zum Epigraphen.

Der Graph und der Epigraph einer konvexen Funktion.



Definition  

Sei ein Intervall und

eine Funktion. Man sagt, dass konvex ist, wenn der Epigraph konvex ist.


Definition  

Sei ein Intervall und

eine Funktion. Man sagt, dass konkav ist, wenn der Subgraph konvex ist.

Bei beiden Begriffen muss man lediglich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke zwischen je zwei Punkten des Graphen jeweils oberhalb bzw. unterhalb verläuft. Im differenzierbaren Fall gibt es einfache Ableitungskriterien für diese Verhaltensweisen, wobei wir nur den konvexen Fall anführen.



Satz  

Es sei ein Intervall und

eine differenzierbare Funktion.

Dann ist genau dann eine konvexe (konkave) Funktion, wenn die Ableitung wachsend (fallend) ist.

Beweis  

Sei zunächst konvex und seien zwei Punkte aus gegeben. Es sei die lineare Funktion, die und verbindet. Aufgrund der Konvexität ist für . Für die Differenzenquotienten gilt daher

Durch Übergang zum Limes für bzw. folgt


Sei nun als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte aus gegeben mit der Eigenschaft, dass die verbindende Gerade von und nicht vollständig oberhalb des Graphen von verläuft. Es gibt also ein mit , wobei wieder die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu können wir und annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte und mit und , so dass nicht wachsend ist.



Korollar

Es sei ein Intervall und

eine zweimal differenzierbare Funktion.

Dann ist genau dann eine konvexe Funktion, wenn für die zweite Ableitung für alle gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe.


Die folgende Aussage heißt Jensensche Ungleichung.


Satz

Es sei

eine konvexe Funktion, seien und mit .

Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe.