Kreis/Diskrete Gleichverteilung/Aufgabe/Lösung

a)

b) Wir betrachten die Abbildung

$[0,\pi ]\longrightarrow M,\,s\longmapsto (\cos s,\sin s),$

die den oberen Halbkreis gleichförmig parametrisiert. Dabei entspricht der angegebenen gleichwinkligen Unterteilung von ${}M$ mit ${}n+1$ Punkten die äquidistante Unterteilung des Intervalls ${}[0,\pi ]$ mit dem Abstand ${}\pi /n$, das wir ${}\lambda _{n}$ nennen. Das Bildmaß kann man also auch auffassen als Bildmaß zu ${}\lambda _{n}$ unter der Abbildung

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1],\,s\longmapsto \cos s.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\nu _{n}[t,1]&=\lambda _{n}{\left(\arccos([t,1])\right)}\\&=\lambda _{n}{\left([0,\arccos t]\right)}\\&=\left\lfloor {\frac {n\arccos t}{\pi }}\right\rfloor +1.\end{aligned}}$

c) Wir behaupten, dass die Folge bestimmt gegen ${}+\infty$ divergiert. Es ist zunächst

${}\left\lfloor {\frac {n\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\pi }}\right\rfloor +1\geq {\frac {n\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\frac {2}{n}}}\,.$

Es genügt also zu zeigen, dass

${}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {\arccos {\left(1-h\right)}}{h}}=+\infty \,$

ist. Nach der Regel von l'Hospital kann man stattdessen

${}{\frac {\frac {1}{\sqrt {1-(1-h)^{2}}}}{1}}={\frac {1}{\sqrt {2h-h^{2}}}}={\frac {1}{{\sqrt {h}}{\sqrt {2-h}}}}\,$

betrachten, und dies divergiert bestimmt gegen ${}+\infty$.

Zur gelösten Aufgabe