Kreisteilungskörper/Alle primitiven Einheitswurzeln/Basis bei p/Nicht p^2/Aufgabe/Lösung

a) Der Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ wird beschrieben als ${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})$ mit dem ${}n$-ten Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$. Dieses hat den Grad ${}\varphi (n)$ (mit der eulerschen ${}\varphi$-Funktion), und ${}X$ wird durch ${}\zeta$ ersetzt. Daher ist ${}\zeta ^{0},\zeta ^{1},\ldots ,\zeta ^{\varphi (n)-1}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$. Bei ${}n=p$ ist ${}\varphi (p)=p-1$ und wir betrachten die Elemente ${}\zeta ^{i},\,i=1,\ldots ,p-1$. Das ${}p$-te Kreisteilungspolynom ist ${}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X+1$. Daher ist

${}1=-\zeta ^{p-1}-\zeta ^{p-2}-\cdots -\zeta \,,$

sodass man die ${}1$ als Linearkombination der angegebenen Elemente darstellen kann. Daher bilden sie ein Erzeugendensystem und somit auch eine Basis, da es sich um ${}\varphi (p)$ Elemente handelt.

b) Die Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$ sind alle Zahlen, die keine Vielfachen von ${}p$ sind. Es gilt

${}0=1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{n-1}\,.$

Wir schreiben diese Summe als

${}0=\sum _{i=0}^{n-1}\zeta ^{i}=\sum _{i=0,\,p{|}i}^{n-1}\zeta ^{i}+\sum _{i=0,\,p\not \,{|}\,\,i}^{n-1}\zeta ^{i}=\sum _{j=0}^{p-1}\zeta ^{pj}+\sum _{i=0,\,p\not \,{|}\,\,i}^{n-1}\zeta ^{i}\,.$

Da ${}\zeta$ eine ${}p^{2}$-te primitive Einheitswurzel ist, ist ${}\zeta ^{p}$ eine ${}p$-te primitive Einheitswurzel. Die linke Summe ist daher

${}\sum _{j=0}^{p-1}\zeta ^{pj}=\sum _{j=0}^{p-1}(\zeta ^{p})^{j}=0\,.$

Also ist auch die rechte Summe

${}\sum _{i=0,\,p\not \,{|}\,\,i}^{n-1}\zeta ^{i}=0\,.$

Dies ist aber die Summe über alle Elemente aus unserer Familie, sodass diese Familie linear abhängig ist.

Zur gelösten Aufgabe