Kreisteilungskörper/Alle primitiven Einheitswurzeln/Basis bei p/Nicht p^2/Aufgabe/Lösung

a) Der Kreisteilungskörper $K_n$ wird als $K_n=\mathbb{Q}[X]/({\mathrm{\Phi }}_n)$ beschrieben mit dem $n$-ten Kreisteilungspolynom ${\Phi }_n$. Dieses hat den Grad $\phi (n)$ (mit der eulerschen $\phi$-Funktion), und $X$ wird durch $\zeta$ ersetzt. Daher ist ${\zeta }^0,{\zeta }^1,\dots ,{\zeta }^{\phi (n)-1}$ eine $\mathbb{Q}$-Basis von $K_n$. Bei $n=p$ ist $\phi (p)=p-1$ und wir betrachten die Elemente ${\zeta }^i,i=1,\dots ,p-1$. Das $p$-te Kreisteilungspolynom ist $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X+1$. Daher ist

$1=-{\zeta }^{p-1}-{\zeta }^{p-2}-\cdots -\zeta ,$

sodass man die $1$ als Linearkombination der angegebenen Elemente darstellen kann. Daher bilden sie ein Erzeugendensystem und somit auch eine Basis, da es sich um $\phi (p)$ Elemente handelt.

b) Die Einheiten in $\mathbb{Z}/(p^2)$ sind alle Zahlen, die keine Vielfachen von $p$ sind. Es gilt

$0=1+\zeta +{\zeta }^2+\cdots +{\zeta }^{n-1}.$

Wir schreiben diese Summe als

$0=\sum _{i=0}^{n-1}{\zeta }^i=\sum _{i=0,p\mid i}^{n-1}{\zeta }^i+\sum _{i=0,p\mid ̸i}^{n-1}{\zeta }^i=\sum _{j=0}^{p-1}{\zeta }^{pj}+\sum _{i=0,p\mid ̸i}^{n-1}{\zeta }^i.$

Da $\zeta$ eine $p^2$-te primitive Einheitswurzel ist, ist ${\zeta }^p$ eine $p$-te primitive Einheitswurzel. Die linke Summe ist daher

$\sum _{j=0}^{p-1}{\zeta }^{pj}=\sum _{j=0}^{p-1}({\zeta }^p{)}^j=0.$

Also ist auch die rechte Summe

$\sum _{i=0,p\mid ̸i}^{n-1}{\zeta }^i=0.$

Dies ist aber die Summe über alle Elemente aus unserer Familie, sodass diese Familie linear abhängig ist.

Zur gelösten Aufgabe