Kreisteilungskörper/Einführung/Textabschnitt

Definition

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^{n}-1$

über ${}\mathbb {Q}$.

Offenbar ist ${}1$ eine Nullstelle von ${}X^{n}-1$. Daher kann man ${}X^{n}-1$ durch ${}X-1$ teilen und erhält, wie man schnell nachrechnen kann,

${}X^{n}-1=(X-1){\left(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1\right)}\,.$

Wegen ${}1\in \mathbb {Q}$ ist daher der ${}n$-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von

$X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1.$

Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfällungskörper gibt. Wir beschränken uns aber weitgehend auf die Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$, die wir auch mit ${}K_{n}$ bezeichnen. Da ${}X^{n}-1$ auf die in Fakt beschriebenen Art über ${}{\mathbb {C} }$ in Linearfaktoren zerfällt, kann man ${}K_{n}$ als Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ realisieren, und zwar ist ${}K_{n}$ der von allen ${}n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$. Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt.

Lemma

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann wird der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$

von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$ erzeugt.

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist also

${}K_{n}=\mathbb {Q} {\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}=\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\,.$

Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Beweis

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$. Wegen ${}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{n}=1$ ist ${}\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\subseteq K_{n}$. Wegen ${}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{k}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}$ gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu ${}\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]$, also ist ${}\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]=K_{n}$.

$\Box$

Statt ${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$ kann man auch jede andere ${}n$-te primitive Einheitswurzel aus ${}{\mathbb {C} }$ als Erzeuger nehmen.

Beispiel

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine ${}n$. Bei ${}n=1$ oder ${}2$ ist der Kreisteilungskörper gleich ${}\mathbb {Q}$. Bei ${}n=3$ ist

${}X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}\,$

und der zweite Faktor zerfällt

${}X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.$

Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von ${}{\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$ erzeugte Körper, es ist also ${}K_{3}=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.

Bei ${}n=4$ ist natürlich

${}{\begin{aligned}X^{4}-1&={\left(X^{2}-1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1)(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} }).\end{aligned}}$

Der vierte Kreisteilungskörper ist somit ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$, also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Lemma

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist der ${}p$-te Kreisteilungskörper gleich

$\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1\right)}.$

Insbesondere besitzt der ${}p$-te Kreisteilungskörper den Grad ${}p-1$ über ${}\mathbb {Q}$.

Beweis

Der ${}p$-te Kreisteilungskörper wird nach Fakt von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt, er ist also isomorph zu ${}\mathbb {Q} [X]/(P)$, wobei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ bezeichnet. Als Einheitswurzel ist ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von ${}X^{p}-1$ und wegen ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}\neq 1$ ist ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von ${}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$. Das Polynom ${}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$ ist irreduzibel nach Aufgabe und daher handelt es sich nach Fakt  (2) um das Minimalpolynom von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$.

$\Box$

Beispiel

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ erzeugt. Er hat aufgrund von Fakt die Gestalt

${}K_{5}\cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,,$

wobei die Variable ${}X$ als ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei ${}x=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ und setze ${}v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}=-{\left(2x^{3}+2x^{2}+1\right)}$. Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist

${}{\begin{aligned}v^{2}&=4x^{6}+4x^{4}+1+8x^{5}+4x^{3}+4x^{2}\\&=4x+4x^{4}+1+8+4x^{3}+4x^{2}\\&=5+4{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)}\\&=5.\end{aligned}}$

Es ist also ${}v={\sqrt {5}}$ (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset K_{5}\,.$