Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist

${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$

wobei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom ist. Dieses ist das Produkt ${}\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})$ über alle primitiven Einheitswurzeln und damit vom Grad ${}{\varphi (n)}$. Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über ${}K_{n}$ in Linearfaktoren und daher ist ${}K_{n}$ der Zerfällungskörper des Kreisteilungspolynoms und somit nach Fakt eine Galoiserweiterung.

Es sei nun ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen ${}X$ entspricht. Zu ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist ${}\zeta ^{a}$ ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus

$\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n}),\,X\longmapsto \zeta ^{a}.$

Dieser ist surjektiv, da ${}\zeta ^{a}$ den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen ${}\Phi _{n}{\left(\zeta ^{a}\right)}=0$ induziert dies einen Automorphismus

$\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\longrightarrow \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n}),\,\zeta \longmapsto \zeta ^{a}.$

Dadurch erhalten wir eine Zuordnung

$(\mathbb {Z} /(n))^{\times }\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} ),\,a\longmapsto \varphi _{a}.$

Für ${}a,a'\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist

${}\varphi _{aa'}(\zeta )=\zeta ^{aa'}={\left(\zeta ^{a'}\right)}^{a}=\varphi _{a}{\left(\zeta ^{a'}\right)}=\varphi _{a}(\varphi _{a'}(\zeta ))=(\varphi _{a}\circ \varphi _{a'})(\zeta )\,,$

sodass ${}\varphi _{aa'}=\varphi _{a}\circ \varphi _{a'}$ gilt (da die Automorphismen auf dem Erzeuger ${}\zeta$ festgelegt sind). Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten ${}a\neq a'$ ist ${}\zeta ^{a}\neq \zeta ^{a'}$ und somit ${}\varphi _{a}\neq \varphi _{a'}$. Die Abbildung ist also injektiv. Da es links und rechts ${}{\varphi (n)}$ Elemente gibt, ist die Abbildung eine Bijektion.

Zur bewiesenen Aussage