Kreisteilungskörper/Kreisteilungspolynom/Zusammenfassung/Textabschnitt

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Definition  

Der -te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

über .

Die Kreisteilungskörper über bezeichnen wir mit . Offenbar ist eine Nullstelle von , daher kann man durch teilen und erhält

Wegen ist daher der -te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von

Da auf die in Fakt beschriebene Art über in Linearfaktoren zerfällt, nämlich

kann man als Unterkörper von realisieren, und zwar ist der von allen -ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von . Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt.


Lemma

Es sei . Dann wird der -te Kreisteilungskörper über

von erzeugt.

Der -te Kreisteilungskörper ist also

Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von .[1]

Statt kann man auch jede andere -te primitive Einheitswurzel aus als Erzeuger nehmen.


Beispiel  

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine . Bei oder ist der Kreisteilungskörper gleich . Bei ist

und der zweite Faktor zerfällt

Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von erzeugte Körper, es ist also eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.

Bei ist natürlich

Der vierte Kreisteilungskörper ist somit , also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von .



Lemma

Es sei eine Primzahl.

Dann ist der -te Kreisteilungskörper gleich

Insbesondere besitzt der -te Kreisteilungskörper den Grad über .


Beispiel  

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl erzeugt. Er hat aufgrund von Fakt die Gestalt

wobei die Variable als (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei und setze . Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist

Es ist also (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen


Die Menge der -ten Einheitswurzeln in bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung und die primitiven Einheitswurzeln sind die Erzeuger davon. Ihre Anzahl stimmt damit generell mit der Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe überein. Diese Anzahl bekommt einen eigenen Namen.


Definition  

Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.


Definition  

Es sei und seien die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

das -te Kreisteilungspolynom.


Lemma

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

liegen in .


Satz

Die Kreisteilungspolynome sind irreduzibel über .


Satz

Der -te Kreisteilungskörper über hat die Beschreibung

wobei das -te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Der Grad des -ten Kreisteilungskörpers ist .


Satz

Es sei der -te Kreisteilungskörper.

Dann ist eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe

Dabei entspricht der Einheit derjenige Automorphismus , der eine -te Einheitswurzel auf abbildet.

  1. Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element.