Kreisteilungskörper/Kreisteilungspolynom/Zusammenfassung/Textabschnitt

Definition

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^{n}-1$

über ${}\mathbb {Q}$.

Die Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$ bezeichnen wir mit ${}K_{n}$. Offenbar ist ${}1$ eine Nullstelle von ${}X^{n}-1$, daher kann man ${}X^{n}-1$ durch ${}X-1$ teilen und erhält

${}X^{n}-1=(X-1){\left(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1\right)}\,.$

Wegen ${}1\in \mathbb {Q}$ ist daher der ${}n$-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von

$X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1.$

Da ${}X^{n}-1$ auf die in Fakt beschriebene Art über ${}{\mathbb {C} }$ in Linearfaktoren zerfällt, nämlich

${}X^{n}-1=\prod _{k=0}^{n-1}(X-e^{k2\pi {\mathrm {i} }/n})\,,$

kann man ${}K_{n}$ als Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ realisieren, und zwar ist ${}K_{n}$ der von allen ${}n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$. Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt.

Lemma

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann wird der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$

von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$ erzeugt.

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist also

${}K_{n}=\mathbb {Q} {\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}=\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\,.$

Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Statt ${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$ kann man auch jede andere ${}n$-te primitive Einheitswurzel aus ${}{\mathbb {C} }$ als Erzeuger nehmen.

Beispiel

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine ${}n$. Bei ${}n=1$ oder ${}2$ ist der Kreisteilungskörper gleich ${}\mathbb {Q}$. Bei ${}n=3$ ist

${}X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}\,$

und der zweite Faktor zerfällt

${}X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.$

Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von ${}{\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$ erzeugte Körper, es ist also ${}K_{3}=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.

Bei ${}n=4$ ist natürlich

${}{\begin{aligned}X^{4}-1&={\left(X^{2}-1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1)(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} }).\end{aligned}}$

Der vierte Kreisteilungskörper ist somit ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$, also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Lemma

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist der ${}p$-te Kreisteilungskörper gleich

$\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1\right)}.$

Insbesondere besitzt der ${}p$-te Kreisteilungskörper den Grad ${}p-1$ über ${}\mathbb {Q}$.

Beispiel

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ erzeugt. Er hat aufgrund von Fakt die Gestalt

${}K_{5}\cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,,$

wobei die Variable ${}X$ als ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei ${}x=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ und setze ${}v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}=-{\left(2x^{3}+2x^{2}+1\right)}$. Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist

${}{\begin{aligned}v^{2}&=4x^{6}+4x^{4}+1+8x^{5}+4x^{3}+4x^{2}\\&=4x+4x^{4}+1+8+4x^{3}+4x^{2}\\&=5+4{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)}\\&=5.\end{aligned}}$

Es ist also ${}v={\sqrt {5}}$ (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset K_{5}\,.$

Die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$ und die primitiven Einheitswurzeln sind die Erzeuger davon. Ihre Anzahl stimmt damit generell mit der Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe ${}(\mathbb {Z} /(n),\cdot ,0)$ überein. Diese Anzahl bekommt einen eigenen Namen.

Definition

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

Definition

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien ${}z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

${}\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,$

das ${}n$-te Kreisteilungspolynom.

Lemma

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

liegen in ${}\mathbb {Z}$.

Satz

Die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ sind irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$.

Satz

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ über ${}\mathbb {Q}$ hat die Beschreibung

${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$

wobei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Der Grad des ${}n$-ten Kreisteilungskörpers ist ${}{\varphi (n)}$.

Satz

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper.

Dann ist ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe

${}\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,.$

Dabei entspricht der Einheit ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ derjenige Automorphismus ${}\varphi _{a}\in \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )$, der eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta$ auf ${}\zeta ^{a}$ abbildet.