Kreisteilungskörper/Kreisteilungspolynom/Zusammenfassung/Textabschnitt
Die Kreisteilungskörper über bezeichnen wir mit . Offenbar ist eine Nullstelle von , daher kann man durch teilen und erhält
Wegen ist daher der -te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von
Da auf die in Fakt beschriebene Art über in Linearfaktoren zerfällt, nämlich
kann man als Unterkörper von realisieren, und zwar ist der von allen -ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von . Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt.
Lemma
Es sei . Dann wird der -te Kreisteilungskörper über
von erzeugt.
Der -te Kreisteilungskörper ist also
Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von .[1]
Statt kann man auch jede andere -te primitive Einheitswurzel aus als Erzeuger nehmen.
Beispiel
Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine . Bei oder ist der Kreisteilungskörper gleich . Bei ist
und der zweite Faktor zerfällt
Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von erzeugte Körper, es ist also eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.
Bei ist natürlich
Der vierte Kreisteilungskörper ist somit , also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von .
Lemma
Es sei eine Primzahl.
Dann ist der -te Kreisteilungskörper gleich
Insbesondere besitzt der -te Kreisteilungskörper den Grad über .
Beispiel
Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl erzeugt. Er hat aufgrund von Fakt die Gestalt
wobei die Variable als (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei und setze . Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist
Es ist also (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen
Die Menge der -ten Einheitswurzeln in bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung und die primitiven Einheitswurzeln sind die Erzeuger davon. Ihre Anzahl stimmt damit generell mit der Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe überein. Diese Anzahl bekommt einen eigenen Namen.
Definition
Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.
Definition
Es sei und seien die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom
das -te Kreisteilungspolynom.
Lemma
Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome
liegen in .
Satz
Die Kreisteilungspolynome sind irreduzibel über .
Satz
Der -te Kreisteilungskörper über hat die Beschreibung
wobei das -te Kreisteilungspolynom bezeichnet.
Der Grad des -ten Kreisteilungskörpers ist .
Satz
Es sei der -te Kreisteilungskörper.
Dann ist eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe
Dabei entspricht der Einheit derjenige Automorphismus , der eine -te Einheitswurzel auf abbildet.
- ↑ Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element.