Kreuzprodukt/Isometrie/Aufgabe/Lösung

a) Es sei

x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3}

und

y = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}) = y_{1} e_{1} + y_{2} e_{2} + y_{3} e_{3} .

Da $φ$ eine Isometrie ist, bilden die

u_{i} = φ (e_{i})

nach Fakt ebenfalls eine Orthonormalbasis, und da die Isometrie eigentlich ist, gilt

det (u_{1}, u_{2}, u_{3}) = 1 .

Deshalb kann man Fakt anwenden und erhält

\begin{matrix} φ (x) \times φ (y) & = φ (x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3}) \times φ (y_{1} e_{1} + y_{2} e_{2} + y_{3} e_{3}) \\ = (x_{1} u_{1} + x_{2} u_{2} + x_{3} u_{3}) \times φ (y_{1} u_{1} + y_{2} u_{2} + y_{3} u_{3}) \\ = (x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2}) u_{1} + (x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3}) u_{2} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) u_{3} \\ = φ ((x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2}) e_{1} + (x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3}) e_{2} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) e_{3}) \\ = φ (x \times y) . \end{matrix}

b) Wir betrachten die Isometrie, die durch $e_{1} \mapsto e_{1} = u_{1}$ , $e_{2} \mapsto e_{2} = u_{2}$ , $e_{3} \mapsto - e_{3} = u_{3}$ gegeben ist. Es ist

e_{1} \times e_{2} = e_{3},

und somit

φ (e_{1}) \times φ (e_{2}) = e_{1} \times e_{2} = e_{3} \neq φ (e_{3}) = φ (e_{1} \times e_{2}) .

aber

Zur gelösten Aufgabe