Kubisches Polynom/z nach z 3 durch 3 -z/Lokaler Homöomorphismus/Keine Überlagerung/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion

$f:ℂ\setminus \{-1,1\}⟶ℂ,z⟼\frac{1}{3}{z}^3-z.$

Wegen

$f^{\prime }(z)=z^2-1=(z-1)(z+1)$

ist die Abbildung überall unverzweigt und nach Fakt ein lokaler Homöomorphismus. Die entsprechende polynomiale Abbildung $\tilde{f}$ auf $ℂ$ ist surjektiv, sie hat an der Stelle $1$ den Wert $-\frac{2}{3}$ und an der Stelle $-1$ den Wert $\frac{2}{3}$. Es ist

$\frac{1}{3}{z}^3-z+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}(z^3-3z+2)=\frac{1}{3}{(z-1)}^2(z+2)$

und

$\frac{1}{3}{z}^3-z-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}(z^3-3z-2)=\frac{1}{3}{(z+1)}^2(z-2),$

daher ist auch $f$ selbst surjektiv. Es liegt keine Überlagerung vor, da über $\frac{2}{3}$ und über $-\frac{2}{3}$ je ein Punkt und sonst stets drei Punkte liegen. Aus Fakt folgt, dass $f$ nicht endlich ist. Dies kann man auch direkt und explizit sehen. Die Folge $\frac{2}{3}+\frac{1}{n}$ konvergiert gegen $\frac{2}{3}$ und die Teilmenge  $T=\{\frac{2}{3}+\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbb{N}}_{+}\}\cup \{\frac{2}{3}\}\subseteq ℂ$  ist kompakt. Die Urbildmenge von $T$ unter der polynomialen Abbildung $\tilde{f}$ ist kompakt, durch die Herausnahme der beiden Punkte geht die Kompaktheit verloren.