Kubisches Polynom/z nach z 3 durch 3 -z/Lokaler Homöomorphismus/Keine Überlagerung/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{-1,1\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {1}{3}}z^{3}-z.$

Wegen

${}f'(z)=z^{2}-1=(z-1)(z+1)\,$

ist die Abbildung überall unverzweigt und nach Fakt ein lokaler Homöomorphismus. Die entsprechende polynomiale Abbildung ${}{\tilde {f}}$ auf ${}{\mathbb {C} }$ ist surjektiv, sie hat an der Stelle ${}1$ den Wert ${}-{\frac {2}{3}}$ und an der Stelle ${}-1$ den Wert ${}{\frac {2}{3}}$. Es ist

${}{\frac {1}{3}}z^{3}-z+{\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}{\left(z^{3}-3z+2\right)}={\frac {1}{3}}{\left(z-1\right)}^{2}{\left(z+2\right)}\,$

und

${}{\frac {1}{3}}z^{3}-z-{\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}{\left(z^{3}-3z-2\right)}={\frac {1}{3}}{\left(z+1\right)}^{2}{\left(z-2\right)}\,,$

daher ist auch ${}f$ selbst surjektiv. Es liegt keine Überlagerung vor, da über ${}{\frac {2}{3}}$ und über ${}-{\frac {2}{3}}$ je ein Punkt und sonst stets drei Punkte liegen. Aus Fakt folgt, dass ${}f$ nicht endlich ist. Dies kann man auch direkt und explizit sehen. Die Folge ${}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{n}}$ konvergiert gegen ${}{\frac {2}{3}}$ und die Teilmenge ${}T={\left\{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{{\frac {2}{3}}\}\subseteq {\mathbb {C} }$ ist kompakt. Die Urbildmenge von ${}T$ unter der polynomialen Abbildung ${}{\tilde {f}}$ ist kompakt, durch die Herausnahme der beiden Punkte geht die Kompaktheit verloren.