Kurs:Algebraische Kurven/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	${}\sum$
Punkte	0	1	3	3	0	3	0	0	6	5	3	7	2	0	5	2	2	0	2	4	3	0	0	0	51

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(-5,5)$, der durch den Punkt ${}(-4,-1)$ läuft.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom  ${}P\in \mathbb {Q} [X]$  an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt:  ${}P(n)\in \mathbb {Z}$. 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}h\in R$.  Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei  ${}R\subseteq \mathbb {Q}$  der Unterring, der aus allen Dezimalbrüchen besteht. Bestimme die Einheitengruppe von ${}R$. Welche Gestalt besitzt diese Einheitengruppe als abstrakte Gruppe?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$- Moduln ${}L,M,N$. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0\longrightarrow {N}^{*}\longrightarrow {M}^{*}\longrightarrow {L}^{*}$

der dualen Moduln führt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring  ${}S=R/{\mathfrak {p}}$  ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper  ${}Q=Q(S)$  und ${}R_{\mathfrak {p}}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

${}Q(S)\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,$

vorliegt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}{\mathfrak {p}}\subset R$  ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn für alle Ideale ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ aus

${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}\,$

folgt, dass  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$  oder  ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$  gilt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine ${}K$- Algebra von endlichem Typ, die ein faktorieller Integritätsbereich sei. Zeige, dass jede algebraische Funktion ${}f$ auf einer offenen Menge

${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\,$

die Form  ${}f=G/H$  mit nicht kürzbaren  ${}G,H\in R$  und mit  ${}U\subseteq D(H)$  besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei  ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  das ${}K$- Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen ${}K$-Algebra. Zeige, dass ein irreduzibler Filter durch offene Mengen der Form ${}D(f)$ erzeugt wird.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei eine endliche Ringerweiterung der Form

${}K[X]\subseteq K[X][Y]/{\left(Y^{n}+P_{n-1}(X)Y^{n-1}+\cdots +P_{2}(X)Y^{2}+P_{1}(X)Y+P_{0}(X)\right)}=R\,$

mit  ${}P_{i}(X)\in K[X]$  gegeben, wobei der Erweiterungsring integer sei. Es sei ${}k$ derart, dass der Grad von ${}P_{i}$ höchstens ${}k(n-i)$ ist für alle

${}i=0,1,\ldots ,n-1\,.$

Zeige, dass dann ${}YX^{-k}$ eine Ganzheitsgleichung vom Grad ${}n$ über ${}K[X^{-1}]$ erfüllt, und dass die zugehörige Erweiterungsalgebra ${}K[X^{-1},YX^{-k}]$ den gleichen Quotientenkörper wie ${}R$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${}R$ und ${}Q$ gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in K[\![S]\!]$  eine formale Potenzreihe mit $b_{0}=0$ und $b_{1}=1$, die wir als  ${}G=S+S^{2}H(S)$  schreiben. Es sei  ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\in K[[T]]$  die Potenzreihe mit  ${}F(G)=S$  und  ${}G(F)=T$.  Zeige  ${}F=T-F^{2}\cdot H(F)$. 

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}{\mathfrak {m}}=(T)\subseteq K[T]$  das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung  ${}R=K[T]_{\mathfrak {m}}$.  Definiere einen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow K[\![T]\!]$

mit  ${}\varphi (T)=T$,  wobei ${}K[\![T]\!]$ den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik  ${}p>0$  und sei  ${}C=V{\left(YZ^{p-1}+X^{p}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$.  Zeige, dass der durch die Projektion weg vom Punkt ${}(1,0,0)$ definierte Morphismus

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

bijektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  ${}G,H\in K[X]$  Polynome in einer Variablen vom Grad  ${}d>e\geq 0$  ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in Bemerkung ***** beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion ${}G/H$, also

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\hat {H}}(x,y)xy^{d-e-1},\,{\hat {G}}(x,y),\,{\hat {H}}(x,y)y^{d-e}\right),$

in der Tat die in Satz 29.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)) gegebene Gleichung  ${}{\hat {H}}(X,Z)YZ^{d-e-1}-{\hat {G}}(X,Z)=0$  erfüllt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

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