Kurs:Algebraische Kurven/16/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {ebene affin-algebraische Kurve} {} über einem Körper $K$.
}{Das \stichwort {Verschwindungsideal} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {noetherscher} {} $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$.
}{Ein \stichwort {zusammenhängender} {} Ring $R$.
}{Die
\stichwort {Multiplizität} {}
zu einem
\definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {algebraische Funktion} {} auf einer quasiprojektiven Varietät $U$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.}{Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen linearen Gleichungssystemen und polynomialen Gleichungssystemen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y-3x+1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ durch den Mittelpunkt $(-2,3)$ und den Radius $4$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von $\Q$ nach $\Z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V , \tilde{V}
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (6+1+1)}
{
Wir betrachten auf dem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ = }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgende Teilmengen: $Y$ ist eine endliche Vereinigung von
\definitionsverweis {affin-linearen Unterräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass die Menge dieser Teilmengen die Axiome für die abgeschlossenen Teilmengen einer
\definitionsverweis {Topologie}{}{}
erfüllt.
}{Wie verhält sich diese Topologie zur
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}{Wie verhält sich diese Topologie zur
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {R'} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und seien
\maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {R} {R'
} {}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { { \left\{ r \in R \mid \varphi_1(r) = \varphi_2(r) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise die Charakterisierung von \definitionsverweis {noetherschen Ringen}{}{} mit Idealketten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I,J
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Sequenz
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}R/ I \cap J
\stackrel{}{\longrightarrow}R/I \times R/J
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}R/I+J
\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
mit
\mathl{r \mapsto (r,r)}{} und
\mathl{(s,t) \mapsto s-t}{}
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ein \definitionsverweis {zusammenhängender Ring}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+1+1)}
{
Eine Geldfälscherin stellt $3$- und $7$-Euro-Scheine her. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es nur endlich viele \zusatzklammer {volle} {} {} Eurobeträge gibt, die sie nicht \zusatzklammer {exakt} {} {} begleichen kann. }{Was ist der höchste Betrag, den sie nicht begleichen kann? }{Beschreibe \zusatzklammer {ohne weitere Begründung} {} {} die Menge $M$ der Eurobeträge, die sie mit ihren Scheinen nicht begleichen kann. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der \definitionsverweis {Tangente}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für ein Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zwei Erzeuger, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f,g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
derart, dass das
\definitionsverweis {homogenisierte Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X,Y]}{}
nicht von den Homogenisierungen der beiden Erzeuger erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Erläutere, dass die Voraussetzungen im Satz von Bezout notwendig sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{}
über ${\mathbb C}$ mit Hilfe
des Satzes von Bezout
für die beiden
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{,}
die affin durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V { \left( Y^2-X^3 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den Kreis mit Mittelpunkt
\mathl{(-1,0)}{} und Radius $1$ gegeben sind.
}
{} {}