Kurs:Algebraische Kurven/16/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {ebene affin-algebraische Kurve} {} über einem Körper $K$.
}{Das \stichwort {Verschwindungsideal} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {noetherscher} {} $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$.
}{Ein \stichwort {zusammenhängender} {} Ring $R$.
}{Die
\stichwort {Multiplizität} {}
zu einem
\definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {algebraische Funktion} {} auf einer quasiprojektiven Varietät $U$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper $K$ ist das
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(F)
}
{ \subseteq }{ K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines nicht-konstanten Polynoms $F$ in zwei Variablen.
}{Man nennt
\mathdisp {{ \left\{ F \in K[X_1 , \ldots , X_n] \mid F(P) = 0 \text { für alle } P \in T \right\} }} { }
das Verschwindungsideal zu $T$.
}{Der
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ heißt noethersch, wenn jeder $R$-Untermodul von $M$ endlich erzeugt ist.
}{Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
$R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei
\definitionsverweis {idempotente Elemente}{}{}
\zusatzklammer {nämlich \mathlk{0 \neq 1}{}} {} {}
enthält.
}{Man nennt das minimale positive Element
\mathbed {e \in M} {}
{e \geq 1} {}
{} {} {} {,}
die Multiplizität von $M$.
}{Eine Funktion
\maabbdisp {f} { U } { K
} {}
heißt algebraisch, wenn es für jeden Punkt $P \in U$ eine offene affine Umgebung
\mathl{P \in V \subseteq U}{} derart gibt, dass die auf $V$ eingeschränkte Funktion
\mathl{f{{|}}_V}{} algebraisch im Punkt $P$ ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.}{Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.}
}
{
\aufzaehlungdrei{\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann ist der Zariski-Abschluss von $T$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{T}
}
{ =} { V( \operatorname{Id} \,(T) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}{Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $A$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Dann ist jeder
Restklassenkörper von $A$ isomorph zu $K$.}{Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei
\mathl{C \subset {\mathbb P}^{2}_{K}}{} eine ebene projektive Kurve vom Grad $d$.
Dann gibt es einen surjektiven
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {} { C } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
derart, dass alle Fasern aus maximal $d$ Punkten bestehen.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen linearen Gleichungssystemen und polynomialen Gleichungssystemen.
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y-3x+1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ durch den Mittelpunkt $(-2,3)$ und den Radius $4$ gegeben ist.
}
{
Die Kreisgleichung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x+2)^2 + (y-3)^2
}
{ =} { 16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir lösen die Geradengleichung nach $y$ auf und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 3x-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies setzen wir in die Kreisgleichung ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+2)^2 + (3x-4)^2
}
{ =} { x^2+4x+4+ 9x^2 -24x +16
}
{ =} { 16
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 10x^2 -20x +4
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -2x + { \frac{ 2 }{ 5 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 - 4 \cdot { \frac{ 2 }{ 5 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ { \frac{ 12 }{ 5 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm 2 \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { 1 \pm \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } }
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { 1 + \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_1
}
{ =} { 3 { \left( 1 + \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } } \right) } -1
}
{ =} { 2 + 3 \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der erste Schnittpunkt ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_1
}
{ =} { \left( 1 + \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } } , \, 2 +3 \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { 1 - \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_2
}
{ =} { 3 { \left( 1 - \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } } \right) } -1
}
{ =} { 2 - 3 \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der zweite Schnittpunkt ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_2
}
{ =} { \left( 1 - \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } } , \, 2 - 3 \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 5 } } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von $\Q$ nach $\Z$ gibt.
}
{
Nehmen wir an, dass
\maabbdisp {\varphi} {\Q} { \Z
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (1)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In $\Q$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
daher gilt in $\Z$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1
}
{ =} { \varphi \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right) + \varphi \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das würde aber bedeuten, dass die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2x
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $\Z$ eine Lösung besitzt, was nicht der Fall ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V , \tilde{V}
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Nach Definition von
\definitionsverweis {affin-linear äquivalent
}{}{}
gibt es eine
\definitionsverweis {affin-lineare Variablentransformation
}{}{}
\maabbeledisp {} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} { P } { \varphi(P)
} {,}
mit
\mathl{\varphi^{-1}(V) = \tilde{V}}{.} Es sei $\tilde{\varphi}$ der zugehörige Automorphismus des Polynomrings
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi}^{-1}\, ( \operatorname{Id} (\tilde{V} ))
}
{ =} { \operatorname{Id} \, (V)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach dem Isomorphiesatz folgt die Isomorphie der Restklassenringe.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (6+1+1)}
{
Wir betrachten auf dem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ = }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgende Teilmengen: $Y$ ist eine endliche Vereinigung von
\definitionsverweis {affin-linearen Unterräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass die Menge dieser Teilmengen die Axiome für die abgeschlossenen Teilmengen einer
\definitionsverweis {Topologie}{}{}
erfüllt.
}{Wie verhält sich diese Topologie zur
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}{Wie verhält sich diese Topologie zur
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Der Gesamtraum $K^n$ ist ein affin-linearer Raum und die leere Menge ist die leere Vereinigung
\zusatzklammer {oder der leere affine Raum} {} {,}
diese sind also abgeschlossen. Eine endliche Vereinigung von endlichen Vereinigungen von affin-linearen Räumen ist selbst eine endliche Vereinigung von affin-linearen Räumen. Die Durchschnittseigenschaft beweisen wir durch Induktion über die Dimension des Raumes, die Aussage ist klar, wenn der Raum $0$-dimensional ist. Sei also die Aussage für Dimensionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bewiesen. Zunächst ist ein beliebiger Durchschnitt von affin-linearen Räumen ein
\zusatzklammer {eventuell leerer} {} {}
affin-linearer Raum. Es sei eine Menge der Form
\mathdisp {\bigcap_{i \in I} { \left( \bigcup_{j_i \in J_i} A_{j_i} \right) }} { }
mit $I$ beliebig, $J_i$ endlich und $A_{j_i}$ affin-linearen Räumen gegeben. Wenn alle Vereinigungen
\mathl{\bigcup_{j_i \in J_i} A_{j_i}}{} der Gesamtraum sind, so ist auch der Duchschnitt der Gesamtraum. Es sei also für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vereinigung
\mathl{\bigcup_{j_k \in J_k} A_{j_k}}{} nicht der Gesamtraum. Insbesondere haben dann alle $A_{j_k}$ eine kleinere Dimension. Es ist dann
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \bigcap_{i \in I} { \left( \bigcup_{j_i \in J_i} A_{j_i} \right) }
}
{ =} { { \left( \bigcup_{j_k \in J_k} A_{j_k} \right) } \cap \bigcap_{i \in I \setminus \{k\} } { \left( \bigcup_{j_i \in J_i} A_{j_i} \right) }
}
{ =} { \bigcup_{j_k \in J_k} A_{j_k} \cap { \left( \bigcap_{i \in I \setminus \{k\} } { \left( \bigcup_{j_i \in J_i} A_{j_i} \right) } \right) }
}
{ =} { \bigcup_{j_k \in J_k} { \left( \bigcap_{i \in I \setminus \{k\} } { \left( \bigcup_{j_i \in J_i} A_{j_k} \cap A_{j_i} \right) } \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i \in I \setminus \{k\} } { \left( \bigcup_{j_i \in J_i} A_{j_k} \cap A_{j_i} \right) }
}
{ \subseteq} { A_{j_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Durchschnitt von endlichenen Vereinigungen von affinen Räumen in dem niedrigerdimensionalen Raum $A_{j_k}$, also nach Induktionsvoraussetzung selbst eine endliche Vereinigung.
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stimmen beide Topologien überein, da in ihnen nur die Gesamtmenge und endliche Punktmengen abgeschlossen sind.
}{Affine Unterräume sind auch abgeschlossenen in der Zariski-Topologie. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist beispielsweise der Kreis
\mathl{V { \left( x^2+y^2-1 \right) }}{} abgeschlossen in der Zariski-Topologie, aber keine Vereinigung von affinen Teilräumen.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {R'} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und seien
\maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {R} {R'
} {}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { { \left\{ r \in R \mid \varphi_1(r) = \varphi_2(r) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $R$ ist.
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_1 (0)
}
{ =} { 0
}
{ =} { \varphi_2 (0)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört auch die $1$ zu $S$.
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_1 (1)
}
{ =} { 1
}
{ =} { \varphi_2 (1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört die $0$ und die $1$ zu $S$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_1 (-x)
}
{ =} { - \varphi_1 (x)
}
{ =} { - \varphi_2 (x)
}
{ =} { \varphi_2 (-x)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ -x
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_1(x+y)
}
{ =} { \varphi_1(x)+ \varphi_1(y)
}
{ =} { \varphi_2(x)+ \varphi_2(y)
}
{ =} { \varphi_2(x+y)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_1(x \cdot y)
}
{ =} { \varphi_1(x) \cdot \varphi_1(y)
}
{ =} { \varphi_2(x) \cdot \varphi_2(y)
}
{ =} { \varphi_2(x \cdot y)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x+y,x \cdot y
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also liegt ein Unterring vor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise die Charakterisierung von \definitionsverweis {noetherschen Ringen}{}{} mit Idealketten.
}
{
(1) $\Rightarrow$ (2). Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_2
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_3
}
{ \subseteq} { \ldots
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine aufsteigende Idealkette in $R$. Wir betrachten die Vereinigung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { \bigcup_{n \in \N } {\mathfrak a}_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wieder ein Ideal in $R$ ist. Da $R$ noethersch ist, ist ${\mathfrak a}$ endlich erzeugt, d.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da diese $f_i$ in der Vereinigung der Ideale ${\mathfrak a}_n$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein $n$ derart geben, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_k
}
{ \in }{ {\mathfrak a}_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f_1 , \ldots , f_k)
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_{n+m}
}
{ \subseteq} { \bigcup_{n \in \N } {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq} { (f_1, \ldots , f_k)
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab $n$ stationär ist.
(2) $\Rightarrow$ (1). Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal in $R$. Wir nehmen an, ${\mathfrak a}$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ \subset }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die ${\mathfrak a}_n$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1
}
{ \subset} { {\mathfrak a}_2
}
{ \subset} { \ldots
}
{ \subset} { {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}
}
}
{}{}{}
bereits konstruiert. Da ${\mathfrak a}_n$ endlich erzeugt ist, aber ${\mathfrak a}$ nicht, ist die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
echt und es gibt ein Element
\mathbed {f_{n+1} \in {\mathfrak a}} {}
{f_{n+1} \not\in {\mathfrak a}_{n}} {}
{} {} {} {.}
Dann setzt das Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_{n+1}
}
{ \defeq }{ {\mathfrak a}_n + ( f_{n+1})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Idealkette echt aufsteigend fort.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I,J
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Sequenz
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}R/ I \cap J
\stackrel{}{\longrightarrow}R/I \times R/J
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}R/I+J
\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
mit
\mathl{r \mapsto (r,r)}{} und
\mathl{(s,t) \mapsto s-t}{}
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R/ I \cap J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (r,r)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/I \times R/J}{.} Dann sind beide Komponenten gleich $0$ und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ I \cap J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist links
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die Abbildung links ist also injektiv.
Die zusammengesetze Abbildung ist durch
\mathdisp {r \longmapsto (r,r) \longmapsto r-r} { }
gegeben, ist also die Nullabbildung. Wenn umgekehrt
\mathl{(s,t)}{} rechts auf $0$ abgebildet wird, so bedeutet dies
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s-t
}
{ \in }{ I+J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s-t
}
{ =} { a+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s-a
}
{ =} { t+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $R$. Dieses Element repräsentiert ebenso das Element
\mathl{(s,t)}{,} dieses kommt also von links.
Die Surjektivität hinten ergibt sich direkt, wenn man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ein \definitionsverweis {zusammenhängender Ring}{}{} ist.
}
{
Ein idempotentes Element $e$ besitzt die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e(1-e)
}
{ =} { e-e^2
}
{ =} { e-e
}
{ =} { 0
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Im nullteilerfreien Fall folgt daraus
\mathkor {} {e=1} {oder} {e=0} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+1+1)}
{
Eine Geldfälscherin stellt $3$- und $7$-Euro-Scheine her. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es nur endlich viele \zusatzklammer {volle} {} {} Eurobeträge gibt, die sie nicht \zusatzklammer {exakt} {} {} begleichen kann. }{Was ist der höchste Betrag, den sie nicht begleichen kann? }{Beschreibe \zusatzklammer {ohne weitere Begründung} {} {} die Menge $M$ der Eurobeträge, die sie mit ihren Scheinen nicht begleichen kann. }
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{12
}
{ =} { 3+3+3+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 13
}
{ =} { 7+3+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{14
}
{ =} { 7+7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
diese drei aufeinander folgenden Zahlen kann sie also begleichen. Alle höheren Zahlen kann sie auch begleichen, indem sie zur Darstellung von
\mathl{12,13}{} bzw. $14$ einfach eine gewisse Anzahl an $3$-Euroscheinen hinzugibt.
}{Die $11$ ist nicht darstellbar. In einer möglichen Darstellung der $11$ mit $3$ und $7$ kann höchstens eine $7$ vorkommen, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{7+7
}
{ = }{ 14
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schon zu groß ist. Es ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7+3
}
{ =} { 10
}
{ \neq} {11
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und da $11$ kein Vielfaches von $3$ ist kann man diese Zahl auch nicht nur mit $3$ darstellen. Alle Zahlen darüber kann sie nach Teil (1) begleichen. Also ist $11$ die größte Zahl, die sie nicht begleichen kann.
}{Nicht begleichbar sind
\mathdisp {1,2,4,5,8,11} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der \definitionsverweis {Tangente}{}{.}
}
{
Das beschreibende Polynom ist
\mathdisp {X^2 + Y^2 -1} { , }
die partiellen Ableitungen sind
\mathkor {} {2X} {und} {2Y} {.}
Da Charakteristik $\neq 2$ vorausgesetzt ist, und da der Nullpunkt nicht zum Kreis gehört, liegt eine glatte Kurve vor. Im Punkt
\mathl{(a,b)}{} des Kreises ist die Tangentengleichung nach
[[Ebene algebraische Kurven/Tangente in einem glatten Punkt/Bemerkung|Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/16/Klausur mit Lösungen/latex (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))]]
gleich
\mathl{2a (X-a) + 2b (Y-b)}{.} Dies kann man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ aX +bY -a^2-b^2
}
{ =} { aX+bY-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.}
}
{
Zunächst ist $R$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn nämlich eine Potenzreihe $F$ keine Einheit ist, so muss nach
Satz 24.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))
der konstante Term von $F$ gleich $0$ sein. Dann kann man aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ T \tilde{F}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der umindizierten Potenzreihe $\tilde{F}$ schreiben. Die
\definitionsverweis {Nullteilerfreiheit}{}{}
folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind
\mathkor {} {F} {und} {G} {}
von $0$ verschiedene Potenzreihen, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { a_kT^k+a_{k+1}T^{k+1} + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {b_\ell T^\ell+a_{\ell+1}T^{\ell+1} + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_k , b_\ell
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{k + \ell}
}
{ =} { a_k b_\ell
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da die kleineren Koeffizienten alle $0$ sind. Es bleibt also noch
\definitionsverweis {noethersch}{}{}
zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
vorliegt, und zwar wird jedes Ideal $\neq 0$ von $T^{j}$ erzeugt, wobei $j$ das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten $\neq 0$ von Potenzreihen in dem Ideal ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für ein Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zwei Erzeuger, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f,g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
derart, dass das
\definitionsverweis {homogenisierte Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X,Y]}{}
nicht von den Homogenisierungen der beiden Erzeuger erzeugt wird.
}
{
Wir betrachten das Einheitsideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (1)
}
{ =} { (X,X+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Homogenisierung dieses Ideals ist das Einheitsideal in
\mathl{K[X,Y]}{.} Die Homogenisierungen der beiden Erzeuger sind
\mathkor {} {X} {und} {X+Y} {.}
Diese erzeugen das Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X,Y)
}
{ \neq} { (1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Erläutere, dass die Voraussetzungen im Satz von Bezout notwendig sind.
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{}
über ${\mathbb C}$ mit Hilfe
des Satzes von Bezout
für die beiden
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{,}
die affin durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V { \left( Y^2-X^3 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den Kreis mit Mittelpunkt
\mathl{(-1,0)}{} und Radius $1$ gegeben sind.
}
{
Die homogene Gleichung der Neilschen Parabel ist
\mathl{Y^2Z-X^3=0}{.} Die Kreisgleichung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-1)^2 + Y^2 -1
}
{ =} { X^2-2X +Y^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Homogenisierung davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2-2XZ +Y^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zur Berechnung der Schnittpunkte betrachten wir zunächst
\mathl{D_+(Z)}{,} also die affine Ausgangssituation. Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { X^3 + X^2 -2X
}
{ =} { X(X^2 +X -2)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was den Punkt
\mathl{(0,0)}{} ergibt, oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{7} { \mathrm i} -1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu jedem dieser zwei Werte gehören jeweils zwei komplexe Lösungen für $Y$, sodass es hier neben
\mathl{(0,0)}{} noch vier weitere Schnittpunkte gibt. Da in
\mathl{(0,0)}{} die Neilsche Parabel eine Singularität besitzt, ist dort nach
Lemma 26.4 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))
die Schnittmultiplizität zumindest $2$. Da die Summe über alle Schnittmultiplizitäten nach dem Satz von Bezout gleich $6$ ist, ergibt sich, dass in diesem Punkt die Schnittmultiplizität genau $2$ ist und in den vier weiteren Schnittpunkten die Schnittmultiplizität gleich $1$ ist. Es folgt insbesondere, dass es auf $V_+(Z)$ keine weiteren Schnittpunkte gibt.
}