Kurs:Algebraische Kurven/17/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 11 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Zariski-Topologie} {} auf dem affinen Raum ${ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }$.
}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul}{} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Eine \stichwort {monomiale} {} Kurve.
}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.
}{Die
\stichwort {Multiplizität} {}
zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der \stichwort {projektive Raum} {}
\mathl{{\mathbb P}^{ n }_{ K}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über das Verhalten von maximalen Idealen unter Ringhomomorphismen.}{Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.}{Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Was ist ein Punkt in der algebraischen Geometrie? Welche Punktkonzepte haben Sie in dem Kurs über algebraische Kurven kennengelernt und wie hängen diese miteinander zusammen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $X^6-1$ über den
\definitionsverweis {Körpern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\Q, \R, {\mathbb C}, \Z/(7)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\Z/(5)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } { P(z)
} {,}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.}
Zeige: $F$ zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Satz über noethersche Moduln bei einer kurzen exakten Sequenz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
$A$ werde durch die Familie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_i
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
über $R$ erzeugt. Zeige: Wenn $A$
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
ist, dann wird $A$ auch von einer endlichen Teilfamilie der $a_i$ erzeugt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Man gebe einen Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{11 (1+1+4+1+3+1)}
{
Wir betrachten das von $2$ und $3$
\definitionsverweis {erzeugte Untermonoid}{}{}
in den natürlichen Zahlen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \{ 0, 2,3,4,5, \ldots \}
}
{ \subset} { \N
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \Z/(9)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ferner betrachten wir die Menge der $R$-wertigen Punkte von
\mathkor {} {M} {und} {\N} {}
\zusatzklammer {also die Menge der Monoidhomomorphismen \mathlk{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)}{} bzw. \mathlk{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( \N , R)}{}} {} {}
und die Restriktionsabbildung
\maabbeledisp {\psi} { \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( \N , R) } { \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)
} { \pi } { \pi {{|}}_M
} {.}
\aufzaehlungsechsabc{Bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
und die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
Elemente von $R$.
}{Bestimme die Anzahl von
\mathl{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( \N , R)}{.}
}{Zeige, dass ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho
}
{ \in }{ \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass $\rho(2)$ eine Einheit in $R$ ist, eine Fortsetzung nach $\N$ besitzt.
}{Bestimme sämtliche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \in }{ \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( \N , R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
deren Einschränkung auf $M \setminus \{0\}$ die Nullfunktion ist.
}{Bestimme sämtliche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho
}
{ \in }{ \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die keine Fortsetzung nach $\N$ besitzen.
}{Bestimme die Anzahl von
\mathl{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien $R$ und $A$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { R } { A
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
derart, dass $\varphi(s)$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $A$ ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { R_S } { A
} {,}
der $\varphi$ fortsetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom in einer Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { V(Y-F)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Graph}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{}
von $C$ mit der $y$-Achse in
\mathl{(0,F(0))}{} stets $1$ ist.
}{Zeige, dass die Schnittmultiplizität von $C$ mit der $x$-Achse im Nullpunkt beliebig groß sein kann.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Erstelle ein Kartenspiel mit insgesamt sieben Symbolen und sieben Karten, wobei auf jeder Karte drei Symbole vorkommen mit der Eigenschaft, dass je zwei Karten genau ein Symbol gemeinsam haben. Tipp: Betrachte die projektive Ebene über dem Körper
\mathl{{\mathbb F}_{ 2 }}{} mit zwei Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass unter der
\definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{}
\maabbdisp {\pi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } { {\mathbb P}^{ n }_{ K }
} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi^ {-1} (V_+ ( {\mathfrak a} ))
}
{ =} { V ( {\mathfrak a} ) \cap { \left( { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\definitionsverweis {homogene Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Folgere daraus, dass $\pi$ stetig in der Zariski-Topologie ist.
}
{} {}