Kurs:Algebraische Kurven/17/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 11 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Zariski-Topologie} {} auf dem affinen Raum ${ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }$.
}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul}{} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Eine \stichwort {monomiale} {} Kurve.
}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.
}{Die
\stichwort {Multiplizität} {}
zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der \stichwort {projektive Raum} {}
\mathl{{\mathbb P}^{ n }_{ K}}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Unter der Zariski-Topologie im affinen Raum
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} versteht man diejenige
\definitionsverweis {Topologie}{}{,}
bei der die
\definitionsverweis {affin-algebraischen Mengen}{}{}
als abgeschlossen erklärt werden.
}{Man nennt $M$ einen
\stichwortpraemath {R} {Modul}{,}
wenn eine Operation
\maabbeledisp {} {R \times M } { M
} {(r,v)} { rv = r\cdot v
} {,}
festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:}
\aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,}
}{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,}
}{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,}
}{
\mathl{1u = u}{.}
}
}{Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${\mathbb A}^{1}_{K}$ unter einer Abbildung der Form
\maabbeledisp {} {{\mathbb A}^{1}_{K} } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} { t } { \left( t^{e_1 } , \, \ldots , \, t^{e_n } \right)
} {,}
mit
\mathl{e_i \geq 1}{} für alle $i$.
}{Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
$R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
besitzt.
}{Wenn $P$ der Nullpunkt ist, was man durch eine lineare Variablentransformation erreichen kann, so sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { F_d+F_{d-1} + \cdots + F_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die homogene Zerlegung von $F$ mit \mathkon { F_d \neq 0 } { und } { F_m \neq 0 }{ ,}
\mathl{d \geq m}{.} Dann heißt $m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt $P$.
}{Der projektive Raum
\mathl{{\mathbb P}^{ n }_{ K}}{} besteht aus allen Geraden des
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } }}{} durch den Nullpunkt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über das Verhalten von maximalen Idealen unter Ringhomomorphismen.}{Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.}{Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und seien $A$ und $B$ zwei $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei
\maabb {\varphi} { A } { B
} {}
ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann ist für jedes maximale Ideal ${\mathfrak m}$ aus $B$ auch das Urbild
\mathl{\varphi ^{-1} ({\mathfrak m})}{} ein maximales Ideal.}{Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein durch teilerfremde Elemente
\mathl{e_1, \ldots, e_n}{} erzeugtes Untermonoid und sei
\maabb {} {\N^n } { M} {}
die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
\maabb {\varphi} {K[X_1 , \ldots , X_n]} {K[M]
} {.}
Dann wird das Kernideal durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{\ker \varphi
}
{ =} { { \left( \prod_{i \in I_1} X_i^{r_i} - \prod_{i \in I_2} X_i^{s_i} :\, I_1, I_2 \subseteq \{1, \ldots ,n\} \text{ disjunkt }, \sum_{i \in I_1} r_ie_i = \sum_{i \in I_2} s_ie_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}{Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathl{F \in K[X,Y]}{} nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{(a,b)
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{(X-a,Y-b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit lokalem Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ (K[X,Y]_{\mathfrak m})/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungvier{ $P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
}{Die Multiplizität von $P$ ist eins.
}{ $R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
}{ $R$ ist ein normaler Integritätsbereich.
}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Was ist ein Punkt in der algebraischen Geometrie? Welche Punktkonzepte haben Sie in dem Kurs über algebraische Kurven kennengelernt und wie hängen diese miteinander zusammen?
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $X^6-1$ über den
\definitionsverweis {Körpern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\Q, \R, {\mathbb C}, \Z/(7)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\Z/(5)}{.}
}
{
Es ist
\zusatzklammer {über jedem Körper} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X^6-1
}
{ =} {(X^2-1)(X^4+X^2+1)
}
{ =} {(X-1)(X+1) (X^4+X^2+1)
}
{ =} {(X-1)(X+1) (X^2+X+1)(X^2-X+1)
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Dies kann man direkt bestätigen, es ergibt sich aber auch aus der Produktzerlegung von $X^6-1$ mit Hilfe der Kreisteilungspolynome. Über den komplexen Zahlen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^6-1
}
{ =} { \prod_{k = 0}^5 (X-e^{\frac {2 \pi { \mathrm i} k }{6} })
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da davon vier Nullstellen imaginär sind, müssen die beiden quadratischen Polynome von oben über $\Q$ und über $\R$ irreduzibel sein, sodass die obige Faktorzerlegung über diesen Körpern die Primfaktorzerlegung ist.
Über $\Z/(7)$ gilt aufgrund des kleinen Fermat für jede Einheit $x^6=1$. Daher ist die Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^6-1
}
{ =} {(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)(X-5)(X-6)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Über $\Z/(5)$ haben die beiden Polynome $X^2+X+1$ und $X^2-X+1$ keine Nullstelle, sind also irreduzibel, und daher ist die obige Zerlegung auch die Primfaktorzerlegung über $\Z/(5)$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } { P(z)
} {,}
surjektiv ist.
}
{
Es sei
\mathl{c \in {\mathbb C}}{} vorgegeben. Da $P$ nicht konstant ist, ist auch
\mathl{P(z)-c}{} nicht konstant und besitzt nach dem
Fundamentalsatz der Algebra
eine Nullstelle. Also gibt es ein
\mathl{w\in {\mathbb C}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(w)-c
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(w)
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.}
Zeige: $F$ zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n a_iX^iY^{n-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{}
ist das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{ F }
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n a_iX^i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einer Variablen und besitzt aufgrund der algebraischen Abgeschlossenheit eine Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{ F }
}
{ =} { \prod_{i = 1}^n a_n { \left( X- c_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn man zurückhomogenisiert, erhält man die Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { \prod_{i = 1}^n a_n { \left( X- c_i Y \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise den Satz über noethersche Moduln bei einer kurzen exakten Sequenz.
}
{
Es sei zunächst $M$ noethersch, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Untermodul. Dann ist $U$ direkt auch ein Untermodul von $M$, also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ M_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von $V$ in $M$ unter der Restklassenabbildung sei $\tilde{V}$. Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul $V$.
Es seien nun die äußeren Moduln $M_1$ und $M_3$ noethersch, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Untermodul. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_3
}
{ \subseteq }{ M_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Bild-Untermodul davon. $U_3$ wird von endlich vielen Elementen
\mathl{s_1 , \ldots , s_n}{} erzeugt, und wir können annehmen, dass diese
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i
}
{ = }{ \overline{r}_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Bilder von Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_i
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind. Betrachte
\mathl{U \cap M_1}{.} Dies ist ein Untermodul von $M_1$, und daher endlich erzeugt, sagen wir von
\mathl{t_1 , \ldots , t_k}{,} die wir als Elemente in $U$ auffassen. Wir behaupten, dass
\mathdisp {r_1 , \ldots , r_n,t_1 , \ldots , t_k} { }
ein Erzeugendensystem von $U$ bilden. Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein beliebiges Element. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{m}
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n a_i s_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher geht das Element
\mathl{m-\sum_{i=1}^n a_i r_i}{} rechts auf $0$. Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu $M_1$. Andererseits gehört dieses Element auch zu $U$, also zum Durchschnitt
\mathl{M_1 \cap U}{,} der ja von den
\mathl{t_1 , \ldots , t_k}{} erzeugt wird. Also kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m-\sum_{i = 1}^n a_i r_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k b_j t_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n a_i r_i+ \sum_{j = 1}^k b_j t_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
$A$ werde durch die Familie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_i
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
über $R$ erzeugt. Zeige: Wenn $A$
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
ist, dann wird $A$ auch von einer endlichen Teilfamilie der $a_i$ erzeugt.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { R[f_1 , \ldots , f_n]
}
{ =} { R[a_i, i \in I]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere kann man jedes $f_j$ als polynomialen Ausdruck in den Elementen der Familie $a_i$ mit Koeffizienten aus $R$ schreiben. Dabei kommen für jedes $j$ jeweils nur endlich viele $a_i$ vor und deshalb gehören alle Erzeuger $f_j$ zu
\mathl{R[a_i, i \in I']}{} mit einer endlichen Teilfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I'
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { R[f_1 , \ldots , f_n]
}
{ =} { R[a_i, i \in I']
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Man gebe einen Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.
}
{
Wir starten mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das ist ein Körper der Charakteristik $p$. Dazu betrachten wir den
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K(X)
}
{ = }{ Q(K[X])
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des Polynomrings $K[X]$. Der Polynomring und sein Quotientenkörper enthalten $K$, sodass $K(X)$ ebenfalls die Charakteristik $p$ besitzt. Ferner enthält $K(X)$ die unendlich vielen Potenzen
\mathbed {X^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
die alle untereinander verschieden sind.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
}
{
Die Existenz der Abbildung ist klar, dem $K$-Algebrahomomorphis\-mus
\maabbdisp {P} { S } { K
} {}
wird einfach die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {R \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} S \stackrel{P}{\longrightarrow} K} { }
zugeordnet. Das Urbild der offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D(f)
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dabei
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (\varphi^*)^{-1} (D(f) )
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid \varphi^*(P) \in D(f) \right\} }
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid P \circ \varphi \in D(f) \right\} }
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid ( P \circ \varphi) (f) \neq 0 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid P ( \varphi(f)) \neq 0 \right\} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { D( \varphi(f))
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daher sind generell Urbilder von offenen Mengen wieder offen und die Abbildung ist stetig.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{weiter}
{
Wir betrachten das von $2$ und $3$
\definitionsverweis {erzeugte Untermonoid}{}{}
in den natürlichen Zahlen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \{ 0, 2,3,4,5, \ldots \}
}
{ \subset} { \N
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \Z/(9)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ferner betrachten wir die Menge der $R$-wertigen Punkte von
\mathkor {} {M} {und} {\N} {}
\zusatzklammer {also die Menge der Monoidhomomorphismen \mathlk{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)}{} bzw. \mathlk{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( \N , R)}{}} {} {}
und die Restriktionsabbildung
\maabbeledisp {\psi} { \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( \N , R) } { \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)
} { \pi } { \pi {{|}}_M
} {.}
\aufzaehlungsechsabc{Bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
und die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
Elemente von $R$.
}{Bestimme die Anzahl von
\mathl{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( \N , R)}{.}
}{Zeige, dass ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho
}
{ \in }{ \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass $\rho(2)$ eine Einheit in $R$ ist, eine Fortsetzung nach $\N$ besitzt.
}{Bestimme sämtliche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \in }{ \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( \N , R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
deren Einschränkung auf $M \setminus \{0\}$ die Nullfunktion ist.
}{Bestimme sämtliche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho
}
{ \in }{ \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die keine Fortsetzung nach $\N$ besitzen.
}{Bestimme die Anzahl von
\mathl{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechsabc{Es sind
\mathl{1,2,4,5,7,8}{} Einheiten, da sie teilerfremd zu $3$ sind, und
\mathl{0,3,6}{} sind nilpoten, da ihr Quadrat geich $0$ ist.
}{Für einen Monoidhomomorphismus
\maabbdisp {\pi} {\N} {R
} {}
muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi (0)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein und $\pi$ ist durch den Wert an der Stelle $1$ eindeutig festgelegt, und dabei ist jedes $\pi(1)$ möglich. Daher gibt es $9$ Elemente in
\mathl{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( \N , R)}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho(2)
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Einheit. Die einzige Möglichkeit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi(1)
}
{ =} { \rho(3) \cdot \rho(2)^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu setzen, da ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho(3)
}
{ =} { \pi(3)
}
{ =} { \pi(2) \cdot \pi (1)
}
{ =} { \rho(2) \cdot \pi(1)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten muss
\zusatzklammer {für alle anderen Zahlen ist ja $\pi$ durch $\rho$ festgelegt} {} {.}
Wir müssen zeigen, dass dadurch ein Monoidhomomorphismus von $\N$ nach $R$ festgelegt ist. Wir müssen also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi (i+j)
}
{ =} { \pi(i) \cdot \pi(j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen. Dies ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar, da ja $\rho$ ein Homomorphismus ist. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \pi (1) \cdot \pi(1)
}
{ =} { \rho(3) \cdot \rho(2)^{-1} \cdot \rho(3) \cdot \rho(2)^{-1}
}
{ =} { \rho(3+3) \cdot \rho(2+2)^{-1} \cdot \rho(2)^{-1} \cdot \rho(2)
}
{ =} { \rho(6) \cdot \rho (6)^{-1} \cdot \rho(2)
}
{ =} { \rho(2)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \pi(2)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \pi (1) \cdot \pi(j)
}
{ =} { \pi (1) \cdot \rho(j)
}
{ =} { \rho(3) \cdot \rho(2)^{-1} \cdot \rho(j)
}
{ =} { \rho (3 + j ) \cdot \rho(2)^{-1}
}
{ =} { \rho (1 + j ) \cdot \rho(2) \cdot \rho(2)^{-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \rho(1+j)
}
{ =} { \pi(1+j)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Wenn
\mathl{\pi(1)}{} eine Einheit ist, so besteht das ganze Bild nur aus Einheiten und $\pi$ ist auf $M \setminus \{0\}$ nicht die Nullfunktion. Wenn dagegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(1)
}
{ = }{ 0,3,6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(2)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(i)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Nach Teil (c) kommen nur $\rho$ mit $\rho(2)$ nilpotent in Frage. Es ist dann auch $\rho(3)$ nilpotent. Wäre nämlich $\rho(3)$ eine Einheit, so auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho(3+3)
}
{ = }{ \rho(6)
}
{ = }{ \rho(2+2+2)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit auch $\rho(2)$. Wenn man für $\rho(2)$ und $\rho(3)$ beliebige nilpotente Elemente aus $R$ vorgibt, so muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho(n)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein, da man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 2i+3j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i+j
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann. Eine solche Vorgabe von nilpotenten Werten liefert umgekehrt einen Monoidhomomorphimus von $M$ nach $R$. Ein solcher Morphismus besitzt nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho(2)
}
{ = }{ \rho(3)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Fortsetzung nach $\N$
- die $8$ anderen Kombinationen besitzen keine Fortsetzung.
}{Es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 6+8+1
}
{ = }{ 15
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in
\mathl{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , R)}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es seien $R$ und $A$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { R } { A
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
derart, dass $\varphi(s)$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $A$ ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { R_S } { A
} {,}
der $\varphi$ fortsetzt.
}
{
Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} { \left( 1/s \right) }
}
{ = }{ (\varphi (s))^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} { \left( a/s \right) }
}
{ = }{ \varphi(a) (\varphi (s))^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss.
\teilbeweis {Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ s } }
}
{ = }{ { \frac{ b }{ t } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ rta
}
{ = }{ rsb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Dann ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(r) \varphi(t) \varphi(a)
}
{ =} { \varphi(r) \varphi(s) \varphi(b)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und durch Multiplizieren mit der Einheit
\mathl{\varphi(r)^{-1} \varphi(t)^{-1} \varphi(s)^{-1}}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(a) (\varphi (s))^{-1}
}
{ =} { \varphi(b) (\varphi (t))^{-1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\tilde{\varphi} { \left( { \frac{ a }{ s } } + { \frac{ b }{ t } } \right) }
}
{ =} {\tilde{\varphi} { \left( { \frac{ at+ bs }{ st } } \right) }
}
{ =} { \varphi(at+bs) \varphi(st)^{-1}
}
{ =} {(\varphi(a)\varphi(t) + \varphi(s) \varphi(b) ) \varphi(s)^{-1} \varphi(t)^{-1}
}
{ =} { \varphi(a) \varphi(s)^{-1} + \varphi(b) \varphi(t)^{-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\tilde{\varphi} { \left( { \frac{ a }{ s } } \right) } + \tilde{\varphi} { \left( { \frac{ b }{ t } } \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom in einer Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { V(Y-F)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Graph}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{}
von $C$ mit der $y$-Achse in
\mathl{(0,F(0))}{} stets $1$ ist.
}{Zeige, dass die Schnittmultiplizität von $C$ mit der $x$-Achse im Nullpunkt beliebig groß sein kann.
}
}
{
\aufzaehlungzweiabc{Die $y$-Achse ist $V(X)$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { a_nX^d + \cdots + a_1X+a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der einzige Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (0,F(0))
}
{ = }{ (0,a_0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die passenden Koordinaten sind $X$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ =} { Y-a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir können daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X,Y]/(X,Y-F)
}
{ =} { K[X,Y]/(X,Y)
}
{ =} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eindimensional, was auch für die Lokalisierung an
\mathl{(X,Y)}{} gilt. Die Schnittmultiplizität ist also gleich $1$.
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { X^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann geht es um die Dimension von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X,Y]/ { \left( Y,Y-X^n \right) }
}
{ =} { K[X]/ { \left( X^n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was gleich $n$ ist. Die Schnittmultiplizität ist also $n$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Erstelle ein Kartenspiel mit insgesamt sieben Symbolen und sieben Karten, wobei auf jeder Karte drei Symbole vorkommen mit der Eigenschaft, dass je zwei Karten genau ein Symbol gemeinsam haben. Tipp: Betrachte die projektive Ebene über dem Körper
\mathl{{\mathbb F}_{ 2 }}{} mit zwei Elementen.
}
{
$\,$
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungsvg {Fano-as-dobble-1} {svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Karten entsprechen den Punkten, die Symbole darauf repräsentieren die projektiven Geraden, die durch diesen Punkt verlaufen.} }
\bildlizenz { Fano-as-dobble-1.svg } {} {Georg-Johann} {Commons} {gemeinfrei} {}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass unter der
\definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{}
\maabbdisp {\pi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } { {\mathbb P}^{ n }_{ K }
} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi^ {-1} (V_+ ( {\mathfrak a} ))
}
{ =} { V ( {\mathfrak a} ) \cap { \left( { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\definitionsverweis {homogene Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Folgere daraus, dass $\pi$ stetig in der Zariski-Topologie ist.
}
{
Die Kegelabbildung schickt einen Punkt mit den Koordinaten
\mathdisp {(x_0 , \ldots , x_n)} { }
auf den projektiven Punkt mit den homogenen Koordinaten
\mathdisp {(x_0 , \ldots , x_n)} { . }
Da für ein homogenes Ideal ${\mathfrak a}$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ ( {\mathfrak a} )
}
{ =} { \bigcap_{F \in {\mathfrak a},\, F \text{ homogen} } V_+(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im projektiven Raum und entsprechend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V ( {\mathfrak a} )
}
{ =} { \bigcap_{F \in {\mathfrak a} } V (F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im affinen Raum gilt, genügt es, die Aussage für ein homogenes Polynom $F$ zu zeigen. Diese ergibt sich aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \pi^{-1}(V_+(F))
}
{ =} { { \left\{ (x_0 , \ldots , x_n) \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} \mid \pi(x_0 , \ldots , x_n) \in V_+(F) \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (x_0 , \ldots , x_n) \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} \mid F (x_0 , \ldots , x_n) = 0 \right\} }
}
{ =} { { \left( { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} \right) } \cap V(F)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dies bedeutet, dass unter der Kegelabbildung Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind, was die Stetigkeit besagt.
}