Kurs:Algebraische Kurven/18/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 10 }
\renewcommand{\aacht}{ 9 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 64 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {affine Raum} {.}
}{Ein
\stichwort {Untermodul} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$.
}{Ein
\stichwort {ganzes Element} {}
\mathl{x \in S}{} bei einer Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der
\stichwort {Singularitätsgrad} {}
zu einem
\definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {diskreter Bewertungsring} {.}
}{Eine \stichwort {quasiprojektive} {} Varietät. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Hilbertsche Basissatz} {.}}{Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.}{Der Satz über das Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Inwiefern entsprechen sich algebraische und geometrische Objekte \zusatzklammer {im Rahmen des Kurses über algebraische Kurven} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des
\definitionsverweis {Einheitskreises}{}{}
und der Diagonalen in der Ebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \cong }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Z/( 6 )$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
in einer Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass eine
$K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X,Y]/(Y-F,Y-G)
}
{ \cong} { K[X]/(F-G)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise den \stichwort {Hilbertschen Basissatz} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (2+1+6)}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{M}
}
{ =} { { \left\{ m \in M \mid \text{ für jeden Modul-Homomorphismus } \varphi:M \rightarrow E \text{ in einen endlich erzeugten Modul } E \text{ ist } \varphi (m) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass $\tilde{M}$ ein
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
von $M$ ist.
}{Es sei $M$ endlich erzeugt. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{M}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei jetzt $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $f$ keine Einheit. Wir betrachten die Nenneraufnahme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ R_f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als $R$-Modul. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{M}
}
{ = }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (1+1+3+1)}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \R[\Q_{\geq 0}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Monoid
\mathl{( \Q_{\geq 0},0,+)}{.}
\aufzaehlungvierabc{Zeige, dass es einen natürlichen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { \R[\Q_{\geq 0}] } { \operatorname{Abb} \, { \left( \R_{\geq 0} , \R \right) }
} { X^{q} } { { \left( x \mapsto x^{q} \right) }
} {,}
gibt.
}{Zeige, dass das Bild der Zuordnung aus (a) in
\mathl{C(\R_{\geq 0} , \R )}{} liegt, also im Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf $\R_{\geq 0}$.
}{Zeige, dass die Zuordnung aus (a) injektiv ist.
}{Zeige, dass die Zuordnung aus (a) als Abbildung nach
\mathl{C(\R_{\geq 0} , \R )}{} nicht surjektiv ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme für die Parabel
\mathl{V { \left( Y-X^2 \right) }}{} im Punkt
\mathl{(1,1)}{} eine Lösung in Potenzreihen in $T$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { T+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { P(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $4$ von $P$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Schnittmultiplizität \zusatzklammer {beim Schnitt mit einer Geraden} {} {} und die Multiplizität einer Kurve.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+2+3+1)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x)
}
{ =} { x + { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem Körper $K$.
\aufzaehlungvierabc{Skizziere den
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
$C$ der Funktion $F$
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Bestimme die Gleichung für den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
$D$ von $C$.
}{Bestimme die Punkte aus
\mathl{D \setminus C}{} zusammen mit ihrer
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{.}
}{Zeichne die hinzukommenden Punkte als Geraden in die Skizze aus (a) ein.
}
}
{} {}