Kurs:Algebraische Kurven/18/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 10 }
\renewcommand{\aacht}{ 9 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 64 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {affine Raum} {.}
}{Ein
\stichwort {Untermodul} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$.
}{Ein
\stichwort {ganzes Element} {}
\mathl{x \in S}{} bei einer Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der
\stichwort {Singularitätsgrad} {}
zu einem
\definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {diskreter Bewertungsring} {.}
}{Eine \stichwort {quasiprojektive} {} Varietät. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ = }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den affinen Raum über $K$ der Dimension $n$.
}{Eine Teilmenge
\mathl{U \subseteq M}{} heißt
$R$-Untermodul,
wenn sie eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{(M,0,+)}{} ist und wenn für jedes
\mathl{u \in U}{} und
\mathl{r \in R}{} auch
\mathl{ru \in U}{} ist.
}{Das Element
\mathl{x \in S}{} heißt ganz
\zusatzklammer {über $R$} {} {,}
wenn $x$ eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
}{Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen
\mathl{\N \setminus M}{,} den Singularitätsgrad von $M$.
}{Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
mit der Eigenschaft, dass es bis auf
\definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{}
genau ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
in $R$ gibt.
}{Unter einer quasiprojektiven Varietät versteht man eine offene Teilmenge einer
\definitionsverweis {projektiven Varietät}{}{}
zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Hilbertsche Basissatz} {.}}{Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.}{Der Satz über das Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $R$ ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring
\mathl{R[X]}{} noethersch.}{Es sei $K$ ein Körper und seien $R$ und $S$ kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei
\maabb {\varphi} { R } { S
} {}
ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung
\maabbeledisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} { P } { P \circ \varphi
} {.}
Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.}{Es sei $K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{.} Es sei
\mathl{G \in K [ \![ S ]\! ]}{} eine Potenzreihe mit konstantem Term $0$. Dann definiert $G$ durch Einsetzen einen $K$-Algebrahomomorphismus
\maabbeledisp {} { K [ \![ T ]\! ] } { K [ \![ S ]\! ]
} { F } { F(G) } {.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Inwiefern entsprechen sich algebraische und geometrische Objekte \zusatzklammer {im Rahmen des Kurses über algebraische Kurven} {} {?}
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des
\definitionsverweis {Einheitskreises}{}{}
und der Diagonalen in der Ebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \cong }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Die Punkte auf der Diagonalen haben die Form
\mathbed {(x,x)} {mit}
{x \in \R} {}
{} {} {} {,}
die Punkte auf dem Einheitskreis erfüllen die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zusammengenommen kommt man auf die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+x^2
}
{ =} { 2x^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { \pm \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die beiden Schnittpunkte sind also
\mathkor {} {\left( \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } , \, \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } \right)} {und} {\left( - \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } , \, - \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } \right)} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Z/( 6 )$.
}
{
Neben den Standardlösungen
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^2
}
{ =} { 9
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4^2
}
{ =} { 16
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dagegen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2
}
{ =} { 4
}
{ \neq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5^2
}
{ =} { 25
}
{ =} { 1
}
{ \neq} {5
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungen sind also
\mathl{\{0,1,3,4\}}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
in einer Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass eine
$K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X,Y]/(Y-F,Y-G)
}
{ \cong} { K[X]/(F-G)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X,Y]/(Y-F,Y-G)
}
{ \cong} { K[X]/(F-G)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Wir betrachten den
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { K[X,Y] } { K[X]/(F-G)
} {,}
der $X \mapsto X$ und
\mathl{Y \mapsto F}{} abbildet. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (Y-F)
}
{ =} { F-F
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (Y-G)
}
{ =} { F-G
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach dem
dem Homomorphiesatz für Ringe
ergibt sich daher ein $K$-Algebrahomomorphismus
\maabbdisp {\overline{ \varphi}} { K[X,Y]/(Y-F,Y-G) } { K[X]/(F-G)
} {.}
Wir betrachten nun den $K$-Algebrahomomorphismus
\maabbdisp {\psi} {K[X]} { K[X,Y]/(Y-F,Y-G)
} {}
mit $X \mapsto X$. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi (F-G)
}
{ =} { F-G
}
{ =} { Y-G - (Y-F)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher induziert dies einen $K$-Algebrahomomorphismus
\maabbdisp {\overline{\psi}} { K[X]/(F-G) } { K[X,Y]/(Y-F,Y-G)
} {.}
Die beiden Verknüpfungen
\mathl{\overline{\psi} \circ \overline{\varphi}}{} und
\mathl{\overline{\varphi} \circ \overline{\psi}}{} sind jeweils die Identität.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{10}
{
Beweise den \stichwort {Hilbertschen Basissatz} {.}
}
{
Es sei ${\mathfrak b}$ ein Ideal im Polynomring $R[X]$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren wir ein Ideal ${\mathfrak a}_n$ in $R$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_ n
}
{ =} { { \left\{ c \in R \mid \text{es gibt } F \in {\mathfrak b} \text{ mit } F = cX^n + c_{n-1}X^{n-1} + \cdots + c_1X +c_0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Menge ${\mathfrak a}_n$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad $n$ aus ${\mathfrak b}$. Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in $R$
\zusatzklammer {wobei wir hier $0$ als Leitkoeffizient zulassen} {} {.}
Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak a}_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da man ja ein Polynom $F$ vom Grad $n$ mit Leitkoeffizient $c$ mit der Variablen $X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad
\mathl{n+1}{} zu erhalten, das wieder $c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da $R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei $n$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ = }{ {\mathfrak a}_{n+1}
}
{ = }{ \ldots
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_i
}
{ = }{ (c_{i 1} , \ldots , c_{i k_i })
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein endliches Erzeugendensystem, und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{ij}
}
{ =} { c_{ij} X^{i} + \text{ Terme von kleinerem Grad }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zugehörige Polynome aus ${\mathfrak b}$
\zusatzklammer {die es nach Definition der ${\mathfrak a}_i$ geben muss} {} {.}
Wir behaupten, dass ${\mathfrak b}$ von allen
\mathl{{ \left\{ F_{ij} \mid 0 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq k_i \right\} }}{} erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \in }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch Induktion über den Grad von $G$, dass es als $R$-Linearkombination mit diesen
\mathl{F_{ij}}{} darstellbar ist. Für $G$ konstant, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ist dies klar. Es sei nun der Grad von $G$ gleich $d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { cX^d + c_{d-1}X^{d-1} + \cdots + c_1X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {\mathfrak a}_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit kann man $c$ als $R$-Linearkombination der
\mathbed {c_{ij}} {}
{0 \leq i \leq n} {}
{1 \leq j \leq k_i} {} {} {,}
schreiben. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man $c$ sogar als $R$-Linearkombination der
\mathbed {c_{dj}} {}
{j=1 , \ldots , k_d} {}
{} {} {} {,}
schreiben, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ \sum_{j = 1}^{k_d} r_j c_{dj}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G-\sum_{j = 1}^{k_d} r_j F_{dj}
}
{ \in }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ > }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c
}
{ =} { \sum_{i = 0 , \ldots , n,\, j = 1 , \ldots , k_i } r_{ij} c_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit gehört
\mathdisp {G-\sum_{i=0 , \ldots , n,\, j=1 , \ldots , k_i } r_{ij} X^{d-i} F_{ij}} { }
ebenfalls zu ${\mathfrak b}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{9 (2+1+6)}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{M}
}
{ =} { { \left\{ m \in M \mid \text{ für jeden Modul-Homomorphismus } \varphi:M \rightarrow E \text{ in einen endlich erzeugten Modul } E \text{ ist } \varphi (m) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass $\tilde{M}$ ein
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
von $M$ ist.
}{Es sei $M$ endlich erzeugt. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{M}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei jetzt $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $f$ keine Einheit. Wir betrachten die Nenneraufnahme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ R_f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als $R$-Modul. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{M}
}
{ = }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungdreiabc{Offensichtlich ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ \tilde{M}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \in }{ \tilde{M}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist für jeden Modulhomomorphismus
\maabb {\varphi} {M} {E
} {}
in einen endlich erzeugten Modul $E$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(rm)
}
{ =} { r \varphi(m)
}
{ =} { r \cdot 0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ rm
}
{ \in }{ \tilde{M}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m_1,m_2
}
{ \in }{ \tilde{M}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist für jeden Modulhomomorphismus
\maabb {\varphi} {M} {E
} {}
in einen endlich erzeugten Modul $E$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(m_1 + m_2)
}
{ =} { \varphi(m_1)+ \varphi(m_2)
}
{ =} { 0+ 0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{rm_1 + m_2
}
{ \in }{ \tilde{M}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{In diesem Fall zeigt die Identität
\maabb {\varphi} {M} {M
} {,}
dass außer der $0$ kein Element die Bedingung von $\tilde{M}$ erfüllt.
}{Wir zeigen, dass jeder Modulhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {R_f } {E
} {}
mit $E$ endlich erzeugt die Nullabbildung ist. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m
}
{ =} { { \frac{ r }{ f^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Element und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( { \frac{ r }{ f^n } } \right) }
}
{ =} { v
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angenommen. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ r }{ f^n } } \right) }
}
{ =} { f^k { \left( { \frac{ r }{ f^{ n+k} } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und damit ist aufgrund der $R$-Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \varphi { \left( { \frac{ r }{ f^n } } \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( f^k { \frac{ r }{ f^{n+k} } } \right) }
}
{ =} { f^k \varphi { \left( { \frac{ r }{ f^{n+k} } } \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir können also stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { f^k v_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_k
}
{ = }{ \varphi { \left( { \frac{ r }{ f^{n+k} } } \right) }
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben, wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_k
}
{ =} { f v_{k+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Wir behaupten, dass der von den
\mathl{{ \left\{ v_k \mid k \in \N \right\} }}{} erzeugte Untermodul von $E$ nicht endlich erzeugt ist, im Widerspruch zu
Satz 10.4 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)).
Andernfalls wäre er sogar von einem Element $v_k$ erzeugt. Dann wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_k
}
{ =} { fv_{k+1}
}
{ =} { fg v_k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1-fg \right) } v_k
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Voraussetzung ist aber
\mathl{1-fg}{} eine Einheit in $R$ und dann wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_k
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+3+1)}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \R[\Q_{\geq 0}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Monoid
\mathl{( \Q_{\geq 0},0,+)}{.}
\aufzaehlungvierabc{Zeige, dass es einen natürlichen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { \R[\Q_{\geq 0}] } { \operatorname{Abb} \, { \left( \R_{\geq 0} , \R \right) }
} { X^{q} } { { \left( x \mapsto x^{q} \right) }
} {,}
gibt.
}{Zeige, dass das Bild der Zuordnung aus (a) in
\mathl{C(\R_{\geq 0} , \R )}{} liegt, also im Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf $\R_{\geq 0}$.
}{Zeige, dass die Zuordnung aus (a) injektiv ist.
}{Zeige, dass die Zuordnung aus (a) als Abbildung nach
\mathl{C(\R_{\geq 0} , \R )}{} nicht surjektiv ist.
}
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{.}
}
{
Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung
\maabbeledisp {} { K [ \![ T]\! ] } { K
} { F } {a_0
} {,}
die eine Potenzreihe $F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, siehe
Aufgabe 24.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)).
Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ {\sum }_{ j =0 }^{ \infty } b _{ j } T ^{ j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ FG
}
{ =} { { \left( {\sum }_{ i =0 }^{ \infty } a _{ i } T ^{ i } \right) } { \left( {\sum }_{ j =0 }^{ \infty } b _{ j } T ^{ j } \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angeben. Für $b_0$ ergibt sich daraus die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0b_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_0
}
{ = }{ a_0^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten $b_j$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten
\mathbed {c_k} {}
{1 \leq k<n} {}
{} {} {} {,} der Produktreihe $FG$ gleich $0$ sind. Für den $n$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { c_n
}
{ =} { a_0b_n+ a_1b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_1 + a_nb_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei sind bis auf $b_n$ alle Werte schon festgelegt, und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich eine eindeutige Lösung für $b_n$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Bestimme für die Parabel
\mathl{V { \left( Y-X^2 \right) }}{} im Punkt
\mathl{(1,1)}{} eine Lösung in Potenzreihen in $T$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { T+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { P(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $4$ von $P$.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty a_nT^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Kurvengleichung führt zur Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T+1 - { \left( \sum_{n = 0}^\infty a_nT^n \right) }^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für den konstanten Koeffizienten ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ a_0^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu nehmen ist, da dieser Punkt vorgegeben ist. Der Koeffizient vor $T$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 - 2a_0a_1
}
{ =} { 1-2a_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt. Der Koeffizient vor $T^2$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a_0a_2+a_1^2
}
{ =} { 2a_2+ { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_2
}
{ =} { -{ \frac{ 1 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Koeffizient vor $T^3$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a_0a_3+2a_1a_2
}
{ =} { 2a_3- 2 { \frac{ 1 }{ 16 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_3
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 16 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Koeffizient vor $T^4$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a_0a_4+2a_1a_3 + a_2^2
}
{ =} { 2a_4 + { \frac{ 1 }{ 16 } } + { \frac{ 1 }{ 64 } }
}
{ =} { 2a_4 + { \frac{ 5 }{ 64 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_4
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 128 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Schnittmultiplizität \zusatzklammer {beim Schnitt mit einer Geraden} {} {} und die Multiplizität einer Kurve.
}
{
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X,Y]_{(X,Y)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ aX+bY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und wir nehmen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, sodass wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ cX
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben können. Es sei zunächst die Gerade $L$ keine
\definitionsverweis {Tangente}{}{}
von
\mathl{V(F)}{} in $P$, also keine Komponente von
\mathl{V(F_m)}{.} Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(F,H)
}
{ \cong} {K[X]_{(X)}/(F_m(X,cX) + \cdots + F_d(X,cX))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_m(X,cX)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es wird
\mathl{X^m u}{} mit einer
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
$u$ rausdividiert, sodass der Restklassenring die
$K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$m$ besitzt. Im allgemeinen Fall gibt es ein minimales
\mathbed {i} {}
{m \leq i \leq d} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_i(X,cX)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {sonst wäre $L$ eine Komponente von $V(F)$} {} {.}
Dann ist mit dem gleichen Argument die Dimension des Restklassenringes gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \geq }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (1+2+3+1)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x)
}
{ =} { x + { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem Körper $K$.
\aufzaehlungvierabc{Skizziere den
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
$C$ der Funktion $F$
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Bestimme die Gleichung für den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
$D$ von $C$.
}{Bestimme die Punkte aus
\mathl{D \setminus C}{} zusammen mit ihrer
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{.}
}{Zeichne die hinzukommenden Punkte als Geraden in die Skizze aus (a) ein.
}
}
{
\aufzaehlungvierabc{ $\,$
}{Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { x + { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ =} { { \frac{ x^2 + 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich die affine Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xy-x^2 -1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und durch Homogenisierung die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xy-x^2-z^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für den projektiven Abschluss, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D
}
{ =} { V_+ { \left( xy-x^2-z^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die hinzukommenden Punkte erhält man, indem man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt. Dies führt zur GLeichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xy-x^2
}
{ =} { x(y-x)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den beiden Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies entspricht den Punkten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (0 ,1,0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q
}
{ =} { (1 ,1,0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist
\mathl{D_+(y)}{} eine offene affine Umgebung für beide Punkte. Die Gleichung wird dort zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x-x^2-z^2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
woraus man direkt sieht, dass die Multiplizität von $P$ gleich $1$ ist. Für $Q$ arbeiten wir mit den beiden partiellen Ableitungen. Die Bedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1-2x
}
{ = }{ 2z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind in
\mathl{(1,1)}{} nicht erfüllt, also ist auch dies ein glatter Punkt mit der Multiplizität $1$.
}{ $\,$
}
}