Kurs:Algebraische Kurven/19/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 7 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 8 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Verschwindungsideal} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine
\stichwort {rationale Parametrisierung} {}
einer affin-algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {Normalisierung} {} eines Integritätsbereiches $R$.
}{Die \stichwort {eingesetze} {} Potenzreihe $F(G)$.
}{Die \stichwort {Schnittmultiplizität} {} zu zwei ebenen algebraischen Kurven
\mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {}
ohne gemeinsame Komponente in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V(F) \cap V(G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein
\stichwort {homogenes} {}
Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.}{Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.}{Das \stichwort {Lemma von Nakayama} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von
\mathl{V(X^2+Y^2-1)}{} und
\mathl{V(Y-3X^2+2)}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Homomorphiesatz für Ringe unter Bezug auf den Homomorphiesatz für Gruppen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (4+3)}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { {\mathbb K} [X,Y] /(X^2+Y^2-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und darin das Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { (X,Y-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei ${\mathbb K}$ gleich
\mathbed {\R} {oder}
{{\mathbb C}} {}
{} {} {} {}
sei.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass im komplexen Fall das Ideal ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist. Man gebe einen Erzeuger an.
} {Zeige, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $A$ bei der Durchführung eines ersten Experiments eintritt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $B$ bei der Durchführung eines zweiten Experiments eintritt. Die beiden Experimente werden
\definitionsverweis {unabhängig}{}{}
voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse
\mathl{(A,B), (A, \neg B), (\neg A,B) , (\neg A, \neg B)}{} haben dann eine von $p$ und $q$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
\maabbelementzeiledisplay {\varphi} { {\mathbb A}^{2}_{ K } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } }
} {(p,q)} { \left( pq , \, p(1-q) , \, (1-p)q , \, (1-p)(1-q) \right) = \left( x , \, y , \, z , \, w \right)
} {,}
auf.
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass die Abbildung
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
}{Beschreibe das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ (0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Nullpunkt in der reellen Ebene und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ V(X-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass der Abstand $d(P,F)$ proportional mit Proportionalitätsfaktor $\sqrt{e}$ zum
\zusatzklammer {senkrechten} {} {}
Abstand $d(P,G)$ ist.
Zeige, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ellipse, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Parabel und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Hyperbel vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei $R$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
mit
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.} Es sei
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a}}{} eine
\definitionsverweis {Restklassendarstellung}{}{}
von $R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {K[X_1 , \ldots , X_n] } { R
} {}
und dem
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} { P } { P \circ \varphi
} {}
eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} und
\mathl{V( {\mathfrak a} )}{} stiftet, die bezüglich der
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
ein
\definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ das durch die Erzeuger $e,f,g$ mit der Relation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e+f
}
{ =} { 2g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {kommutative Monoid}{}{}
und es sei ${\mathbb F}_{ q }$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen. Bestimme die Anzahl des
${\mathbb F}_{ q }$-\definitionsverweis {Spektrums}{}{}
von $M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme sämtliche Teiler von $X$ im
\definitionsverweis {Ring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[\Q_{\geq 0}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {singulären Punkte}{}{}
der
\definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass die Nenneraufnahme $R_f$ ebenfalls normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Betrachte die beiden reellen Kurven
\mathdisp {V(X^5-X^3+2XY+7Y^2-9)} { }
im Punkt
\mathl{(1,1)}{} und
\mathdisp {V(X^4+Y^4-3X^2Y^2 +5X+7Y)} { }
im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere die
\definitionsverweis {projektive Nullstellenmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+(XYZ)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme für die beiden affinen Kurven
\mathdisp {V { \left( Y-X^3 \right) } \text{ und } V { \left( Y^2-X^3 \right) }} { }
ihre Schnittpunkte zusammen mit den
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{.}
Betrachte auch Schnittpunkte im ${\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C}}$ und bestätige
den Satz von Bezout
in diesem Beispiel.
}
{} {}