Kurs:Algebraische Kurven/20/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Polynomring} {} in einer Variablen $X$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Eine \stichwort {irreduzible Komponente} {} einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{} $V$.
}{Eine
\stichwort {Nenneraufnahme} {}
zu einem
\definitionsverweis {multiplikativen System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Die \stichwort {Einbettungsdimension} {} eines lokalen kommutativen noetherschen Ringes $R$.
}{Ein \stichwort {transversaler} {} Schnitt von zwei ebenen Kurven \mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {} in einem Punkt $P$.
}{Eine \stichwort {projektive ebene Kurve} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.}{Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.}{Der Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe Beispiele für die Methode \zusatzklammer {Zugang, Strategie} {} {,} Invarianten \zusatzklammer {aussagekräftige natürliche Zahlen} {} {} von Kurven oder Ringen über die Vektorraumdimension von gewissen Vektorräumen zu definieren. Welche Vorteile hat dieser Zugang?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?
}{Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { X^3+4X^2-7X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { X^3-2X^2+5X+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von ${\mathbb C}$ nach $\R$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+3)}
{
Es sei $K$ ein Körper, der nicht
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{}
sei.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
$P$ in zwei Variablen über $K$ derart gibt, dass
\maabb {P} {K^2} {K
} {}
im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} die einzige Nullstelle besitzt.
} {Zeige, dass man jede
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ =} { K^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch eine einzige Gleichung beschreiben kann.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es seien zwei verschiedene Kreise in der Ebene gegeben, die durch die Kreisgleichungen
\mathkor {} {F} {bzw.} {G} {}
gegeben seien.
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{K[X,Y]/(F,G)}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{K[X,Y]/(F,H)}{} ist, wobei $H$ den Grad $\leq 1$ besitzt.
}{Zeige, dass der Restklassenring
\mathl{K[X,Y]/(F,G)}{} isomorph zu einem Ring der Form
\mathl{K[U]/(Q)}{} ist mit einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ K[U]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $\leq 2$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{.}
Zeige, dass die Punkte aus
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} den
\definitionsverweis {maximalen Idealen}{}{}
in $R$ entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und $Q(R)$ sein
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ \subseteq }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Zwischenring}{}{.}
Zeige, dass $Q(R)$ auch der Quotientenkörper von $S$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {affinen Varietäten}{}{} $V_1$ und $V_2$ und einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {{\psi}} {V_1 } { V_2 } {,} der bijektiv ist, wo aber die Umkehrungabbildung nicht stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch $5$ und $7$ erzeugt wird, die
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
und den
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}
Zeige, dass folgendes gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x+y
}
{ =} { 23
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, so gehört genau eine der Zahlen
\mathkor {} {x} {oder} {y} {}
zu $M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {homogene Polynome}{}{}
vom Grad $m$ bzw. $n$, die zueinander teilerfremd seien. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{mult} _{ { P} } ( F , G )
}
{ =} { mn
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $P$ den Nullpunkt bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für ein Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch zwei Erzeuger minimal erzeugt wird, derart, dass das
\definitionsverweis {homogenisierte Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X,Y,Z]}{} nicht von den Homogenisierungen der beiden Erzeuger erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.
}
{} {}