Kurs:Algebraische Kurven/20/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	$\sum$
Punkte	3	3	4	5	3	4	2	6	4	4	2	4	4	3	4	4	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Polynomring in einer Variablen $X$ über einem kommutativen Ring $R$.
2. Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge $V$.
3. Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System  $S\subseteq R$  in einem kommutativen Ring $R$.
4. Die Einbettungsdimension eines lokalen kommutativen noetherschen Ringes $R$.
5. Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven $V(F)$ und $V(G)$ in einem Punkt $P$.
6. Eine projektive ebene Kurve.

Lösung

1. Der Polynomring über $R$ besteht aus allen Polynomen

   $P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

   mit $a_i\in R,i=0,\dots ,n,n\in \mathbb{N}$,

   und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

   $X^n\cdot X^m:=X^{n+m}$

   definiert ist.

2. Eine affin-algebraische Teilmenge  $W\subseteq V$  heißt eine irreduzible Komponente von $V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge  $W\subset W^{\prime }\subseteq V$  gibt.
3. Man nennt den Unterring

   $R_S:=\{\frac{f}{g}\mid f\in R,g\in S\}\subseteq Q(R)$

   die Nenneraufnahme zu $S$.

4. Die minimale Idealerzeugendenzahl für das maximale Ideal $𝔪$ heißt die Einbettungsdimension von $R$.
5. Die Kurven $V(F)$ und $V(G)$ schneiden sich im Punkt $P\in V(F,G)$ transversal, wenn $P$ sowohl auf $V(F)$ als auch auf $V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt $P$ verschieden sind.
6. Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge  $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb{P}}_K^2$  zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom $F\in K[X,Y,Z]$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
2. Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
3. Der Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings $K[[T]]$.

Lösung

1. Es sei $K$ ein Körper und seien $P,Q\in K[T]$ zwei Polynome. Dann gibt es ein Polynom $F\in K[X,Y]$, $F\ne 0$, mit $F(Q,P)=0$. D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve $C=V(F)$.
2. Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M$ ein kommutatives Monoid. Es sei $B$ eine kommutative $R$-Algebra und

   $\phi :M⟶B$

   ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von $B$). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus

   $\tilde{\phi }:R[M]⟶B$

   derart, dass das Diagramm

   $\begin{array}{cccc}M& \stackrel{}{⟶}& R[M]& \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & B& \end{array}$

   kommutiert.
3. Es sei $K$ ein Körper und $R=K[[T]]$ der Potenzreihenring in einer Variablen. Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe Beispiele für die Methode (Zugang, Strategie), Invarianten (aussagekräftige natürliche Zahlen) von Kurven oder Ringen über die Vektorraumdimension von gewissen Vektorräumen zu definieren. Welche Vorteile hat dieser Zugang?

Lösung erstellen

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Es seien  $a,b\ge 2$  und sei  $n=ab$. 

a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.

b) Es sei  $a\ne b$.  Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?

c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30}-1$ an.

Lösung

a) Es ist

$X^n-1={\left(X^b\right)}^a-1=(X^b-1)({\left(X^b\right)}^{a-1}+{\left(X^b\right)}^{a-2}+\cdots +{\left(X^b\right)}^2+X^b+1)$

und daher ist $X^b-1$ (und ebenso $X^a-1$) ein Teiler von $X^n-1$.

b) Dies ist nicht der Fall. Für

$n=8=4\cdot 2$

ist

$X^8-1=(X^4-1)(X^4+1).$

Das Polynom $X^4+1$ hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von $X^2-1$. Daher ist $(X^4-1)(X^2-1)$ kein Teiler von $X^8-1$.

c) Da $2,3,5$ Teiler von $30$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass $2^2-1=3,2^3-1=7$ und  $2^5-1=31$  Teiler von $2^{30}-1$ sind. Daher sind $3,7,31$ Primteiler von $2^{30}-1$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

$P=X^3+4X^2-7X+1$

und

$Q=X^3-2X^2+5X+3.$

Lösung

Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen $x$ vor, die eine Nullstelle von $P-Q$ sind. Es ist

$P-Q=X^3+4X^2-7X+1-(X^3-2X^2+5X+3)=6X^2-12X-2.$

Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung

$X^2-2X-\frac{1}{3}=0.$

Die Lösungen dafür sind

$\begin{array}{cc}{x}_{1,2}& =\frac{2\pm \sqrt{4+\frac{4}{3}}}{2}\\ & =\frac{2\pm \sqrt{\frac{16}{3}}}{2}\\ & =\frac{2\pm 4\sqrt{\frac{1}{3}}}{2}\\ & =1\pm 2\sqrt{\frac{1}{3}}.\end{array}$

Dies sind die $x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.

Lösung

Eine ebene algebraische Kurve  $C=V(F)$  ist nach Definition immer die Nullstelle eines Polynoms $F$ in zwei Variablen. Die Gerade $L$ sei durch die Gleichung  $aX+bY+c=0$  gegeben. Ohne Einschränkung sei  $a\ne 0$,  dann kann man nach $X$ auflösen und erhält die Geradengleichung  $X=\alpha Y+\beta$.  Ein Schnittpunkt  $P\in C\cap L$  muss sowohl  $F(P)=0$  als auch die Geradengleichung erfüllen. Mit der Geradengleichung kann man $X$ in $F$ durch $\alpha Y+\beta$ ersetzen. Dadurch wird $F$ zu einem Polynom in der einen Variablen $Y$, das wir $\tilde{F}$ nennen. Dann ist  $P\in C\cap L$  äquivalent dazu, dass  $P\in L$  und  $\tilde{F}(P)=0$  ist. D.h. die Schnittmenge wird durch das Polynom $\tilde{F}$ beschrieben. Bei  $\tilde{F}=0$  ist die ganze Gerade der Schnitt. Bei  $\tilde{F}\ne 0$  gibt es nach Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) nur endlich viele Nullstellen.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von $ℂ$ nach $ℝ$ gibt.

Lösung

Nehmen wir an, dass es einen Ringhomomorphismus

$\phi :ℂ⟶ℝ$

gebe. Dann wäre

$\phi (\mathrm{i})\cdot \phi (\mathrm{i})=\phi (\mathrm{i}\cdot \mathrm{i})=\phi (-1)=-1.$

In $ℝ$ sind aber alle Quadrate positiv und $-1$ besitzt keine Quadratwurzel, sodass ein Widerspruch vorliegt.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, der nicht algebraisch abgeschlossen sei.

1. Zeige, dass es ein homogenes Polynom $P$ in zwei Variablen über $K$ derart gibt, dass $P:K^2\to K$ im Nullpunkt $(0,0)$ die einzige Nullstelle besitzt.
2. Zeige, dass man jede affin-algebraische Menge

   $V\subseteq {𝔸}_K^n=K^n$

   durch eine einzige Gleichung beschreiben kann.

Lösung

1. Nach Voraussetzung gibt es ein nichtkonstantes Polynom $F$ in einer Variablen ohne Nullstelle in $K$. Wir schreiben

   $F=\sum _{i=0}^d{a}_i{X}^i$

   mit  $a_d\ne 0$,   $d\ge 1$.  Wir betrachten die Homogenisierung

   $P=\sum _{i=0}^d{a}_i{X}^i{Y}^{d-i}.$

   Der Nullpunkt ist davon eine Nullstelle. Es sei $(x,y)$ eine Nullstelle. Bei

   $y\ne 0$

   kann man durch $y^d$ dividieren und erhält mit $x/y$ eine Nullstelle von $F$, was es nach Voraussetzung nicht gibt. Es ist also

   $y=0.$

   Doch dann wäre  $a_0=0$  und $0$ wäre eine Nullstelle des Ausgangspolynoms.

2. Nach dem Hilbertschen Basissatz ist

   $V=V(F_1,\dots ,F_r).$

   Wir zeigen, dass man hierbei zwei Polynome durch eines ersetzen kann, ohne die Nullstellenmenge zu ändern. Durch Induktion über $r$ folgt daraus die Aussage. Es sei $P$ das Polynom aus Teil (1), und wir betrachten  $G=P(F_1,F_2)$,  wir ersetzen also die Variablen durch die beiden Polynome. Nach Teil (1) gilt, dass

   $(P(F_1,F_2))(x_1,\dots ,x_n)=P(F_1(x_1,\dots ,x_n),F_2(x_1,\dots ,x_n))=0$

   genau dann ist, wenn

   $F_1(x_1,\dots ,x_n)=0$

   und

   $F_2(x_1,\dots ,x_n)=0$

   gilt. Also ist

   $V(F_1,\dots ,F_r)=V(P(F_1,F_2),F_3,\dots ,F_r).$

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es seien zwei verschiedene Kreise in der Ebene gegeben, die durch die Kreisgleichungen $F$ bzw. $G$ gegeben seien.

a) Zeige, dass der Restklassenring $K[X,Y]/(F,G)$ isomorph zu $K[X,Y]/(F,H)$ ist, wobei $H$ den Grad $\le 1$ besitzt.

b) Zeige, dass der Restklassenring $K[X,Y]/(F,G)$ isomorph zu einem Ring der Form $K[U]/(Q)$ ist mit einem Polynom  $Q\in K[U]$  vom Grad $\le 2$.

Lösung

a) Eine Kreisgleichung hat die Form

$(X-a{)}^2+(Y-b{)}^2-c=0,$

also ist nach Ausmultiplizieren

$F=X^2+Y^2+rX+sY+t$

und entsprechend

$G=X^2+Y^2+\tilde{r}X+\tilde{s}Y+\tilde{t}.$

Daher ist

$H=F-G=(r-\tilde{r})X+(s-\tilde{s})Y+(t-\tilde{t}).$

Da die Kreise verschieden sind, ist dies ein Polynom vom Grad $1$ oder $0$. Dabei gilt

$(F,G)=(F,H)$

und damit sind auch die Restklassenringe isomorph.

b) Wir gehen aus von der Beschreibung aus (a), also

$R=K[X,Y]/(F,H).$

Bei $H$ konstant ist dies der Nullring. Andernfalls ist $H$ linear und dann kann man nach einer Variablen auflösen, sagen wir

$Y=\alpha X+\beta .$

Dann ist

$\begin{array}{cc}K[X,Y]/(F,H)& =K[X,Y]/(X^2+Y^2+rX+sY+t,Y-\alpha X-\beta )\\ & =K[X]/(X^2+{(\alpha X+\beta )}^2+rX+s(\alpha X+\beta )+t)\\ & =K[X]/(u{X}^2+vX+w).\end{array}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $𝔭$ ein Ideal. Zeige, dass $𝔭$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring $R/𝔭$ ein Integritätsbereich ist.

Lösung

Es sei zunächst $𝔭$ ein Primideal. Dann ist insbesondere  $𝔭\subset R$  und somit ist der Restklassenring $R/𝔭$ nicht der Nullring. Es sei  $fg=0$  in $R/𝔭$ wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist  $fg\in 𝔭$  und damit  $f\in 𝔭$  oder  $g\in 𝔭$.  was in $R/𝔭$ gerade  $f=0$  oder  $g=0$  bedeutet.

Ist umgekehrt $R/𝔭$ ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist  $𝔭\ne R$.  Es sei  $f,g\notin 𝔭$.  Dann ist  $f,g\ne 0$  in $R/𝔭$ und daher  $fg\ne 0$  in $R/𝔭$, also ist  $fg\notin 𝔭$. 

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die Punkte aus $K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$ den maximalen Idealen in $R$ entsprechen.

Lösung

Ein $K$-Punkt ist ein $K$-Algebrahomomorphismus

$\phi :A⟶K.$

Da $A$ eine $K$-Algebra ist, ist dieser surjektiv. Der Kern davon ist ein maximales Ideal in $A$. Da $A$ vom endlichen Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, ist Satz 10.10 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)) anwendbar und der Restekörper zu jedem maximalen Ideal ist gleich $K$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $Q(R)$ sein Quotientenkörper. Es sei  $R\subseteq S\subseteq Q(R)$  ein Zwischenring. Zeige, dass $Q(R)$ auch der Quotientenkörper von $S$ ist.

Lösung

Es sei $Q(S)$ der Quotientenkörper von $S$. Wegen

$R\subseteq S\subseteq Q(S)$

gibt es nach Aufgabe 13.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)) einen injektiven Ringhomomorphismus

$Q(R)⟶Q(S).$

Wir behaupten, dass dieser auch surjektiv ist. Sei  $q\in Q(S)$  mit der Darstellung

$q=\frac{s}{t}$

mit  $s,t\in S$.  Wegen  $S\subseteq Q(R)$  gibt es wiederum Darstellngen  $s=\frac{a}{b}$  und  $t=\frac{c}{d}$  mit  $a,b,c,d\in R$.  Es ist

$q=\frac{s}{t}=s{t}^{-1}=\frac{a}{b}{\left(\frac{c}{d}\right)}^{-1}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}.$

Daher ist $q$ das Bild von $\frac{ad}{bc}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei affinen Varietäten $V_1$ und $V_2$ und einem Morphismus

$\psi :V_1⟶V_2,$

der bijektiv ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig ist.

Lösung

Wir betrachten die affine Gerade ${𝔸}_K^1$ und die punktierte Gerade

$Y={𝔸}_K^1\setminus \{0\},$

die affin ist, da man sie als Hyperbel realisieren kann. Wir betrachten die disjunkte Vereinigung

$Z=Y\uplus \{P\}$

mit einem einzelnen Punkt. Dann erhält man einen natürlichen Morphismus

$Z⟶{𝔸}_K^1,$

der auf $Y$ die offene Einbettung ist und der $P$ auf den Nullpunkt abbildet. Es liegt also eine Bijektion vor. Der Punkt $P$ ist aber links eine offene Teilmenge, rechts aber nicht, daher ist die Umkehrabbildung nicht stetig.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch $5$ und $7$ erzeugt wird, die Führungszahl und den Singularitätsgrad. Zeige, dass folgendes gilt: Wenn

$x+y=23$

ist, so gehört genau eine der Zahlen $x$ oder $y$ zu $M$.

Lösung

Es ist

$5=5,$

$7=7,$

$5+5=10,$

$5+7=12,$

$7+7=14,$

$5+5+5=15,$

$5+5+7=17,$

$5+7+7=19,$

$5+5+5+5=20,$

$7+7+7=21,$

$5+5+5+7=22,$

$5+5+7+7=24,$

$5+5+5+5+5=25,$

$5+7+7+7=26,$

$5+5+5+5+7=27,$

$7+7+7+7=28.$

Die Führungszahl ist also $24$. Eine Durchsicht der Paare

$23=0+23=1+22=2+21=3+20=\mathrm{...}$

zeigt, dass jeweils genau ein Element zu $M$ gehört.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ algebraisch abgeschlossen. Es seien  $F,G\in K[X,Y]$  homogene Polynome vom Grad $m$ bzw. $n$, die zueinander teilerfremd seien. Zeige

${\mathrm{mult}}_P(F,G)=mn,$

wobei $P$ den Nullpunkt bezeichnet.

Lösung

Homogene Polynome lassen sich über einem algebraisch abgeschlossenen Körper als Produkt von homogenen Linearfaktoren schreiben, es ist also

$F=F_1\cdots F_m$

und

$G=G_1\cdots G_n$

mit Linearfaktoren $F_i,G_j$, wobei die $F_i$ und $G_j$ paarweise unterschiedliche Geraden durch den Nullpunkt definieren. Insbesondere schneiden sich je zwei Geraden mit der Schnittmultiplizität $1$ im Nullpunkt. Nach Satz 26.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)) ist somit direkt

${\mathrm{mult}}_P(F,G)=\sum _{i,j}{\mathrm{mult}}_P(F_i,G_j)=\sum _{i,j}1=mn.$

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein Ideal  $𝔞\subseteq K[X,Y]$,  das durch zwei Erzeuger minimal erzeugt wird, derart, dass das homogenisierte Ideal in $K[X,Y,Z]$ nicht von den Homogenisierungen der beiden Erzeuger erzeugt wird.

Lösung

Es sei

$𝔞=(X^2-Y^3,X-Y^3).$

Zu diesem Ideal gehört auch

$X^2-X=(X^2-Y^3)-(X-Y^3).$

Es ist kein Hauptideal, da es oberhalb des Ideals nur endlich viele maximale Ideale gibt. Das angegebene Erzeugendensystem ist also minimal. Die Homogenisierungen der beiden Erzeuger sind $X^{2}Z-Y^3$ und $X{Z}^2-Y^3$, die beide den Grad $3$ besitzen. Das davon erzeugte Ideal besitzt nur homogene ELemente vom Grad $\ge 3$. Die Homogenisierung von $X^2-X$ ist aber $X^2-XZ$ vom Grad $2$.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.

Lösung

Es sei  $P\in {\mathbb{P}}_K^2$  ein Punkt, der nicht auf der Kurve liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da der Körper insbesondere unendlich ist. Wir betrachten die Projektion weg von $P$ , die insgesamt einen Morphismus

$C\hookrightarrow {\mathbb{P}}_K^2\setminus \{P\}⟶{\mathbb{P}}_K^1$

induziert. Die Faser dieses Morphismus über einem Punkt  $Q\in {\mathbb{P}}_K^1$  (der eine Richtung in $P\in {\mathbb{P}}_K^2$ repräsentiert) besteht genau aus den Punkten der Kurve, die auf der durch $Q$ definierten Geraden

$G=V_{+}(aX+bY+cZ)\cong {\mathbb{P}}_K^1\subset {\mathbb{P}}_K^2$

liegen. Daher wird die Faser über $Q$ auf $G$ beschrieben, indem man in der Kurvengleichung  $C=V_{+}(F)$  mittels der Geradengleichung eine Variable eliminiert. Das Ergebnis ist ein homogenes Polynom $\overline{F}$ in zwei Variablen vom Grad $d$, das nicht $0$ ist, denn sonst wäre $P$ ein Punkt der Kurve. Da wir über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind, besitzt dieses Polynom $\overline{F}$ mindestens eine und höchstens $d$ Nullstellen, die alle von $P$ verschieden sind. Dies ergibt die Surjektivität und die Abschätzung für die Faser.