Kurs:Algebraische Kurven/20/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Polynomring} {} in einer Variablen $X$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Eine \stichwort {irreduzible Komponente} {} einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{} $V$.
}{Eine
\stichwort {Nenneraufnahme} {}
zu einem
\definitionsverweis {multiplikativen System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Die \stichwort {Einbettungsdimension} {} eines lokalen kommutativen noetherschen Ringes $R$.
}{Ein \stichwort {transversaler} {} Schnitt von zwei ebenen Kurven \mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {} in einem Punkt $P$.
}{Eine \stichwort {projektive ebene Kurve} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Der Polynomring über $R$ besteht aus allen Polynomen
\mathbedtermdisp { P=a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ mit } { a_i \in R, \, i = 0 , \ldots , n }
{ } { n \in \N } { } { } { , }
und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n \cdot X^m
}
{ \defeq} { X^{n+m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
}{Eine affin-algebraische Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine irreduzible Komponente von $V$, wenn sie
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subset }{ W'
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Man nennt den Unterring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_S
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \in S \right\} }
}
{ \subseteq} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Nenneraufnahme zu $S$.
}{Die minimale Idealerzeugendenzahl für das maximale Ideal ${\mathfrak m}$ heißt die Einbettungsdimension von $R$.
}{Die Kurven
\mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {}
schneiden sich im Punkt
\mathl{P\in V(F,G)}{} transversal, wenn $P$ sowohl auf
\mathl{V(F)}{} als auch auf
\mathl{V(G)}{} ein
\definitionsverweis {glatter Punkt}{}{}
ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt $P$ verschieden sind.
}{Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V_+(F)
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom
\mathl{F \in K[X,Y,Z]}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.}{Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.}{Der Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und seien
\mathl{P,Q \in K[T]}{} zwei Polynome.
Dann gibt es ein Polynom
\mathbed {F \in K[X,Y]} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mathl{F(Q,P)=0}{.} D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve
\mathl{C=V(F)}{.}}{Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M$ ein kommutatives Monoid. Es sei $B$ eine kommutative $R$-Algebra und
\maabbdisp {\varphi} { M } { B
} {}
ein Monoidhomomorphismus
\zusatzklammer {bezüglich der multiplikativen Struktur von $B$} {} {.}
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { R [M] } { B
} {}
derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} M & \stackrel{ }{\longrightarrow} & R[M] & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & B
& \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.}{Es sei $K$ ein Körper und
\mathl{R= K [ \![ T ]\! ]}{} der Potenzreihenring in einer Variablen. Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man gebe Beispiele für die Methode \zusatzklammer {Zugang, Strategie} {} {,} Invarianten \zusatzklammer {aussagekräftige natürliche Zahlen} {} {} von Kurven oder Ringen über die Vektorraumdimension von gewissen Vektorräumen zu definieren. Welche Vorteile hat dieser Zugang?
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?
}{Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
}
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^n -1
}
{ =} { { \left( X^b \right) }^a - 1
}
{ =} { { \left( X^b-1 \right) } { \left( { \left( X^b \right) }^{a-1} + { \left( X^b \right) }^{a-2} + \cdots + { \left( X^{b} \right) }^2 + X^b+ 1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mathl{X^b-1}{}
\zusatzklammer {und ebenso
\mathl{X^a-1}{}} {} {}
ein Teiler von
\mathl{X^n-1}{.}
b) Dies ist nicht der Fall. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { 8
}
{ =} { 4 \cdot 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^8 -1
}
{ =} { (X^4-1) (X^4+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Polynom
\mathl{X^4+1}{} hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von
\mathl{X^2-1}{.} Daher ist $(X^4-1)(X^2-1)$ kein Teiler von
\mathl{X^8-1}{.}
c) Da
\mathl{2,3,5}{} Teiler von $30$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass
\mathl{2^2-1=3,\, 2^3-1=7}{} und
\mathl{2^5-1=31}{} Teiler von
\mathl{2^{30} -1}{} sind. Daher sind
\mathl{3,7,31}{} Primteiler von
\mathl{2^{30} -1}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { X^3+4X^2-7X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { X^3-2X^2+5X+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen $x$ vor, die eine Nullstelle von
\mathl{P-Q}{} sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P-Q
}
{ =} { X^3+4X^2-7X+1- { \left( X^3-2X^2+5X+3 \right) }
}
{ =} { 6X^2-12X-2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2- 2X- { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungen dafür sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4+ { \frac{ 4 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ { \frac{ 16 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm 4 \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { 1 \pm 2\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }
}
}
{}
{}{.}
Dies sind die $x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
}
{
Eine ebene algebraische Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach Definition immer die Nullstelle eines Polynoms $F$ in zwei Variablen. Die Gerade $L$ sei durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ aX+bY+c
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Ohne Einschränkung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dann kann man nach $X$ auflösen und erhält die Geradengleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \alpha Y + \beta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ein Schnittpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ C \cap L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss sowohl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als auch die Geradengleichung erfüllen. Mit der Geradengleichung kann man $X$ in $F$ durch
\mathl{\alpha Y + \beta}{} ersetzen. Dadurch wird $F$ zu einem Polynom in der einen Variablen $Y$, das wir $\tilde{F}$ nennen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ C \cap L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
äquivalent dazu, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{F}(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. D.h. die Schnittmenge wird durch das Polynom $\tilde{F}$ beschrieben. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{F}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die ganze Gerade der Schnitt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{F}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nach
Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
nur endlich viele Nullstellen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von ${\mathbb C}$ nach $\R$ gibt.
}
{
Nehmen wir an, dass es einen Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C} } {\R
} {}
gebe. Dann wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi( { \mathrm i}) \cdot \varphi( { \mathrm i})
}
{ =} { \varphi ( { \mathrm i} \cdot { \mathrm i})
}
{ =} { \varphi(-1)
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In $\R$ sind aber alle Quadrate positiv und $-1$ besitzt keine Quadratwurzel, sodass ein Widerspruch vorliegt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (3+3)}
{
Es sei $K$ ein Körper, der nicht
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{}
sei.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
$P$ in zwei Variablen über $K$ derart gibt, dass
\maabb {P} {K^2} {K
} {}
im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} die einzige Nullstelle besitzt.
} {Zeige, dass man jede
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ =} { K^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch eine einzige Gleichung beschreiben kann.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Nach Voraussetzung gibt es ein nichtkonstantes Polynom $F$ in einer Variablen ohne Nullstelle in $K$. Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { \sum_{i = 0}^d a_iX^i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_d
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \sum_{i = 0}^d a_iX^iY^{d-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Nullpunkt ist davon eine Nullstelle. Es sei
\mathl{(x,y)}{} eine Nullstelle. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann man durch
\mathl{y^d}{} dividieren und erhält mit
\mathl{x/y}{} eine Nullstelle von $F$, was es nach Voraussetzung nicht gibt. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Doch dann wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $0$ wäre eine Nullstelle des Ausgangspolynoms.
} {Nach
dem Hilbertschen Basissatz
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { V { \left( F_1 , \ldots , F_r \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir zeigen, dass man hierbei zwei Polynome durch eines ersetzen kann, ohne die Nullstellenmenge zu ändern. Durch Induktion über $r$ folgt daraus die Aussage. Es sei $P$ das Polynom aus Teil (1), und wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ P(F_1,F_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wir ersetzen also die Variablen durch die beiden Polynome. Nach Teil (1) gilt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( P(F_1,F_2) \right) } (x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { P(F_1 (x_1 , \ldots , x_n),F_2 (x_1 , \ldots , x_n))
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_1 (x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_2 (x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( F_1 , \ldots , F_r \right) }
}
{ =} { V { \left( P(F_1,F_2), F_3 , \ldots , F_r \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Es seien zwei verschiedene Kreise in der Ebene gegeben, die durch die Kreisgleichungen
\mathkor {} {F} {bzw.} {G} {}
gegeben seien.
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{K[X,Y]/(F,G)}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{K[X,Y]/(F,H)}{} ist, wobei $H$ den Grad $\leq 1$ besitzt.
}{Zeige, dass der Restklassenring
\mathl{K[X,Y]/(F,G)}{} isomorph zu einem Ring der Form
\mathl{K[U]/(Q)}{} ist mit einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ K[U]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $\leq 2$.
}
}
{
\aufzaehlungzweiabc{Eine Kreisgleichung hat die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-a)^2 +(Y-b)^2 -c
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist nach Ausmultiplizieren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { X^2+Y^2 + rX+sY+t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und entsprechend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { X^2+Y^2 + \tilde{r}X+ \tilde{s}Y+ \tilde{t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H
}
{ =} { F-G
}
{ =} { { \left( r- \tilde{r} \right) } X+ { \left( s- \tilde{s} \right) } Y+ { \left( t- \tilde{t} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Kreise verschieden sind, ist dies ein Polynom vom Grad $1$ oder $0$. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (F,G)
}
{ =} { (F,H)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit sind auch die Restklassenringe isomorph.
}{Wir gehen aus von der Beschreibung aus (a), also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { K[X,Y]/(F,H)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei $H$ konstant ist dies der Nullring. Andernfalls ist $H$ linear und dann kann man nach einer Variablen auflösen, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { \alpha X+ \beta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ K[X,Y]/(F,H)
}
{ =} { K[X,Y]/ { \left( X^2+Y^2 + rX+sY+t, Y- \alpha X- \beta \right) }
}
{ =} { K[X]/ { \left( X^2+ { \left( \alpha X+ \beta \right) }^2 + rX+s { \left( \alpha X+ \beta \right) } +t \right) }
}
{ =} { K[X]/ { \left( u X^2+ v X+w \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{
Es sei zunächst ${\mathfrak p}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \subset }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist der Restklassenring
\mathl{R/{\mathfrak p}}{} nicht der Nullring. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/ {\mathfrak p}}{} wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} was in $R/{\mathfrak p}$ gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet.
Ist umgekehrt
\mathl{R/{\mathfrak p}}{} ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R/{\mathfrak p}$ und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/{\mathfrak p}}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{.}
Zeige, dass die Punkte aus
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} den
\definitionsverweis {maximalen Idealen}{}{}
in $R$ entsprechen.
}
{
Ein $K$-Punkt ist ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {A} {K } {.} Da $A$ eine $K$-Algebra ist, ist dieser surjektiv. Der Kern davon ist ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in $A$. Da $A$ vom endlichen Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, ist Satz 10.10 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)) anwendbar und der Restekörper zu jedem maximalen Ideal ist gleich $K$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und $Q(R)$ sein
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ \subseteq }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Zwischenring}{}{.}
Zeige, dass $Q(R)$ auch der Quotientenkörper von $S$ ist.
}
{
Es sei $Q(S)$ der Quotientenkörper von $S$. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq} { S
}
{ \subseteq} { Q(S)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es nach
Aufgabe 13.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))
einen injektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} {Q(R)} { Q(S)
} {.}
Wir behaupten, dass dieser auch
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ Q(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ =} { { \frac{ s }{ t } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s,t
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es wiederum Darstellngen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ a }{ b } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ { \frac{ c }{ d } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ =} { { \frac{ s }{ t } }
}
{ =} { s t^{-1}
}
{ =} { { \frac{ a }{ b } } \left( \frac{ c }{ d } \right)^{-1}
}
{ =} { { \frac{ a }{ b } } \cdot { \frac{ d }{ c } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { { \frac{ ad }{ bc } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Daher ist $q$ das Bild von
\mathl{{ \frac{ ad }{ bc } }}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {affinen Varietäten}{}{} $V_1$ und $V_2$ und einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {{\psi}} {V_1 } { V_2 } {,} der bijektiv ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig ist.
}
{
Wir betrachten die affine Gerade ${\mathbb A}^{1}_{K}$ und die punktierte Gerade
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die affin ist, da man sie als Hyperbel realisieren kann. Wir betrachten die disjunkte Vereinigung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ =} { Y \uplus \{P\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem einzelnen Punkt. Dann erhält man einen natürlichen Morphismus
\maabbdisp {} {Z } { {\mathbb A}^{1}_{K}
} {,}
der auf $Y$ die offene Einbettung ist und der $P$ auf den Nullpunkt abbildet. Es liegt also eine Bijektion vor. Der Punkt $P$ ist aber links eine offene Teilmenge, rechts aber nicht, daher ist die Umkehrabbildung nicht stetig.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch $5$ und $7$ erzeugt wird, die
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
und den
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}
Zeige, dass folgendes gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x+y
}
{ =} { 23
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, so gehört genau eine der Zahlen
\mathkor {} {x} {oder} {y} {}
zu $M$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5
}
{ =} { 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7
}
{ =} { 7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+5
}
{ =} { 10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+7
}
{ =} { 12
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7+7
}
{ =} { 14
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+5+5
}
{ =} { 15
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+5+7
}
{ =} { 17
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+7+7
}
{ =} { 19
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+5+5+5
}
{ =} { 20
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7+7+7
}
{ =} { 21
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+5+5+7
}
{ =} { 22
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+5+7+7
}
{ =} { 24
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+5+5+5+5
}
{ =} { 25
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+7+7+7
}
{ =} { 26
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5+5+5+5+7
}
{ =} { 27
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7+7+7+7
}
{ =} { 28
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Führungszahl ist also $24$. Eine Durchsicht der Paare
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 23
}
{ =} { 0+23
}
{ =} { 1+22
}
{ =} { 2+21
}
{ =} { 3+20
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { ...
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
zeigt, dass jeweils genau ein Element zu $M$ gehört.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {homogene Polynome}{}{}
vom Grad $m$ bzw. $n$, die zueinander teilerfremd seien. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{mult} _{ { P} } ( F , G )
}
{ =} { mn
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $P$ den Nullpunkt bezeichnet.
}
{
Homogene Polynome lassen sich über einem algebraisch abgeschlossenen Körper als Produkt von homogenen Linearfaktoren schreiben, es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { F_1 \cdots F_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { G_1 \cdots G_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Linearfaktoren
\mathl{F_i,G_j}{,} wobei die
\mathkor {} {F_i} {und} {G_j} {}
paarweise unterschiedliche Geraden durch den Nullpunkt definieren. Insbesondere schneiden sich je zwei Geraden mit der Schnittmultiplizität $1$ im Nullpunkt. Nach
Fakt *****
ist somit direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{mult} _{ { P} } ( F , G )
}
{ =} { \sum_{i,j} \operatorname{mult} _{ { P} } ( F_i , G_j )
}
{ =} { \sum_{i,j} 1
}
{ =} { mn
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für ein Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch zwei Erzeuger minimal erzeugt wird, derart, dass das
\definitionsverweis {homogenisierte Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X,Y,Z]}{} nicht von den Homogenisierungen der beiden Erzeuger erzeugt wird.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left( X^2-Y^3,X-Y^3 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu diesem Ideal gehört auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2 -X
}
{ =} { { \left( X^2-Y^3 \right) } - { \left( X-Y^3 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist kein Hauptideal, da es oberhalb des Ideals nur endlich viele maximale Ideale gibt. Das angegebene Erzeugendensystem ist also minimal.
Die Homogenisierungen der beiden Erzeuger sind
\mathkor {} {X^2Z-Y^3} {und} {XZ^2 -Y^3} {,}
die beide den Grad $3$ besitzen. Das davon erzeugte Ideal besitzt nur homogene ELemente vom Grad
\mathl{\geq 3}{.} Die Homogenisierung von
\mathl{X^2-X}{} ist aber
\mathl{X^2-XZ}{} vom Grad $2$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, der nicht auf der Kurve liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da der Körper insbesondere unendlich ist. Wir betrachten die
\definitionsverweis {Projektion weg von $P$ }{}{,}
die insgesamt einen Morphismus
\mathdisp {C \hookrightarrow {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{P\} \longrightarrow {\mathbb P}^{1}_{K}} { }
induziert. Die Faser dieses Morphismus über einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {der eine Richtung in
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert} {} {}
besteht genau aus den Punkten der Kurve, die auf der durch $Q$ definierten Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { V_+(aX+bY+cZ)
}
{ \cong} { {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liegen. Daher wird die Faser über $Q$ auf $G$ beschrieben, indem man in der Kurvengleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V_+(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mittels der Geradengleichung eine Variable eliminiert. Das Ergebnis ist ein homogenes Polynom $\bar{F}$ in zwei Variablen vom Grad $d$, das nicht $0$ ist, denn sonst wäre $P$ ein Punkt der Kurve. Da wir über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind, besitzt dieses Polynom $\bar{F}$ mindestens eine und höchstens $d$ Nullstellen, die alle von $P$ verschieden sind. Dies ergibt die Surjektivität und die Abschätzung für die Faser.
}