Kurs:Algebraische Kurven/8/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Zariski-Topologie} {} auf dem affinen Raum ${ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }$.
}{Eine
\stichwort {irreduzible} {}
affin-algebraische Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {noetherscher} {} Ring $R$.
}{Der \stichwort {Monoidring} {} zu einem kommutativen Monoid $M$ und einem Körper $K$.
}{Der
\stichwort {ganze Abschluss} {}
zu einer Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kommutativer Ringe.
}{Ein \stichwort {transversaler} {} Schnitt von zwei ebenen Kurven \mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {} in einem Punkt $P$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V , \tilde{V}
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über die Integrität von Monoidringen.}{Der Satz über die Schnittmultiplizität und den transversalen Schnitt.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Finde eine Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die die Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { V(X^3+Y^3 +1)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in genau einem Punkt schneidet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} { R } { S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $A$ bei der Durchführung eines Experiments eintritt, und entsprechend sei $1-p$ die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt
\zusatzklammer {$\neg A$} {} {.}
Das Experiment werde zweimal
\definitionsverweis {unabhängig}{}{}
voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse
\mathl{(A,A), (A, \neg A), (\neg A,A) , (\neg A, \neg A)}{} haben dann eine von $p$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{ K } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } }
} { p } { \left( p^2 , \, p(1-p) , \, (1-p)p , \, (1-p)^2 \right) = \left( x , \, y , \, z , \, w \right)
} {,}
auf.
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass die Abbildung
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
}{Beschreibe das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+3+2)}
{
Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { X^4Y^2+X^2Y^4 -3X^2Y^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{Finde eine reelle Nullstelle von $F$.
}{Bestätige die Gleichung
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ F \cdot (X^2+Y^2+1)
}
{ =} { \zeilemitteil { (X^2Y-Y)^2 +(XY^2-X)^2 +(X^2Y^2-1)^2 + { \frac{ 1 }{ 4 } } (XY^3-X^3Y)^2 } {+ { \frac{ 3 }{ 4 } } (XY^3+X^3Y-2XY)^2} }
{ } { \zeilemitteil {
} {} }
{ } { \zeilemitteil {
} {} }
{ } { \zeilemitteil {
} {} }
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Folgere, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y)
}
{ \geq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist für alle Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{\R}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die \stichwort {Parametrisierung von Quadriken} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass der Körper der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} viele \definitionsverweis {Unterringe}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise die geometrische Form des Hilbertschen Nullstellensatzes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Wir betrachten die beiden Polynome
\mathl{X^2+Y^2}{} und
\mathl{X^2-Y^3}{} und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern $\R$ und ${\mathbb C}$.
\aufzaehlungvierabc{Gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(X^2+Y^2)
}
{ \subseteq }{ V(X^2-Y^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ${\mathbb A}^{2}_{\R}$?
}{Gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(X^2+Y^2)
}
{ \subseteq }{ V(X^2-Y^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ${\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }$?
}{Gehört
\mathl{X^2-Y^3}{} zum
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
von
\mathl{(X^2+Y^2)}{} in
\mathl{\R[X,Y]}{?}
}{Gehört
\mathl{X^2-Y^3}{} zum Radikal von
\mathl{(X^2+Y^2)}{} in
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Reduktion}{}{} $S$. Zeige, dass die Abbildung, die den \definitionsverweis {idempotenten Elementen}{}{} aus $R$ ihre Restklasse in $S$ zuordnet, \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien $R$ und $S$ integre,
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { R } { S
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
und ${\mathfrak n}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in $S$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}( {\mathfrak n})
}
{ = }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung induziere einen
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabb {} { R_{\mathfrak m} } { S_{\mathfrak n}
} {.}
Zeige, dass es dann auch ein
\mathbed {f \in R} {}
{f \not \in {\mathfrak m}} {}
{} {} {} {,}
derart gibt, dass
\maabb {} { R_f } { S_{\varphi (f)}
} {}
ein Isomorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man beschreibe einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} derart, dass die induzierte \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} der $K$-\definitionsverweis {Spektren}{}{} die Addition auf $K$ beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Ein Geldfälscher stellt $7$-, $11$-, $13$- und $37$-Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} des zugehörigen numerischen Monoids.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {Integritätsbereiche}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/( 5 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wir betrachten die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven
\mathdisp {C = V { \left( X^2+Y^2-1 \right) } \text{ und } D = V { \left( X^3-2Y^2+3 \right) }} { . }
\aufzaehlungvierabc{Bestimme den Durchschnitt $C \cap D$.
}{Bestimme die Punkte aus
\mathl{V_+ { \left( X^2+Y^2-Z^2 \right) } \setminus V { \left( X^2+Y^2-1 \right) }}{.}
}{Bestimme die Punkte aus
\mathl{V_+ { \left( X^3-2Y^2Z+3 Z^3 \right) } \setminus V { \left( X^3-2Y^2+3 \right) }}{.}
}{Ist
\mathl{V_+ { \left( X^2+Y^2-Z^2 \right) }}{} der
\definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
von $V { \left( X^2+Y^2-1 \right) }$?
}
}
{} {}