Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 13/latex

\setcounter{section}{13}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Man definiert die
\definitionswortenp{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {R_S} { }
schrittweise wie folgt. Es sei zunächst $M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in $S$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {{ \left\{ \frac{r}{s} \mid r \in R , \, s \in S \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass durch
\mathdisp {\frac{r}{s} \sim \frac{r'}{s'} \text{ genau dann, wenn es ein } t \in S \text{ mit } trs' =tr's \text{ gibt}} { , }
eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit $R_S$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $R_S$ eine Ringstruktur und definiere einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mathl{R \rightarrow R_S}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \notin }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} zu $S$, also $R_S$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_S }
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \in S \right\} } }
{ \subseteq} { Q(R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Unterring von
\mathl{Q(R)}{} ist. } {Zeige, dass nicht jeder Unterring von $Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass der Körper der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} viele \definitionsverweis {Unterringe}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{f \in R}{} mit zugehöriger \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_f$. Beweise die $R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f }
{ \cong} { R[T]/(Tf- 1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{f \in R}{} ein Element und $R_f$ die zugehörige \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist, wenn $R_f$ der Nullring ist.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben dürfen Sie, wenn Sie wollen, bei Nenneraufnahmen annehmen, dass Integritätsbereiche vorliegen.

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $R$ und $A$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mathl{S \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {R} {A } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} derart, dass $\varphi(s)$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $A$ ist für alle
\mathl{s \in S}{.} Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {R_S} {A } {,} der $\varphi$ fortsetzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $R=K[X,Y]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen, $S \subseteq R$ ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} und $F \in R$ ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige $R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (R/(F))_S }
{ \cong} { (R_S)/(F) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und
\mathl{S \subseteq R}{} ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei
\mathl{f \in R}{} und
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} sei ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} Zeige, dass die Spektrumsabbildung $\varphi^*$ genau dann durch $D(f)$ faktorisiert, wenn $\varphi(f)$ eine Einheit in $S$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {integre}{}{} \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es seien $f,g \in R$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungzwei {$D(f) \subseteq D(g)$ } {Es gibt einen $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} $R_g \to R_f$. } Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für $K=\R$ nicht gilt.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff des saturierten multiplikativen Systems.

Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $S$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {saturiert}{,} wenn folgendes gilt: Ist $g \in R$ und gibt es ein $f \in S$, das von $g$ geteilt wird, so ist auch $g \in S$.

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $A,B$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mathl{\varphi:A \rightarrow B}{} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus }{}{.} Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(B^\times)}{} der Einheitengruppe ein \definitionsverweis {saturiertes multiplikatives System}{}{} in $A$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$ ein \definitionsverweis {saturiertes}{}{} \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten ${\mathbb C}$-Algebra $R$ und eines multiplikativen Systems
\mathbed {S \subseteq R} {}
{0 \not\in S} {}
{} {} {} {,} an derart, dass die Nenneraufnahme $R_S$ kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus $R$ zum Einheitsideal in $R_S$ wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { X^4Y^2+X^2Y^4 -3X^2Y^2+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Finde eine reelle Nullstelle von $F$. }{Bestätige die Gleichung
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{F \cdot (X^2+Y^2+1) }
{ =} { (X^2Y-Y)^2 +(XY^2-X)^2 +(X^2Y^2-1)^2 + { \frac{ 1 }{ 4 } } (XY^3-X^3Y)^2 + { \frac{ 3 }{ 4 } } (XY^3+X^3Y-2XY)^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Folgere, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y) }
{ \geq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist für alle Punkte
\mathl{(x,y) \in {\mathbb A}^{2}_{\R}}{.} }

}
{Bemerkung: Nach einem Satz von Artin \zusatzklammer {Lösung des 17. Hilbertschen Problems} {} {} kann man jedes reelle Polynom, das nirgendwo negative Werte annimmt, als eine Summe von Quadraten von rationalen Funktionen schreiben. Das vorstehende \stichwort {Motzkin-Polynom} {} $F$ gibt ein konkretes Beispiel dafür, dass man ein solches Polynom im Allgemeinen nicht als Summe von Quadraten von Polynomen schreiben kann. Wir haben aber lediglich die Nichtnegativität bewiesen.} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ein \definitionsverweis {zusammenhängender Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $f$ sowohl \definitionsverweis {nilpotent}{}{} als auch \definitionsverweis {idempotent}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe zu jedem
\mathl{n \geq 2}{} einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und ein Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,} an, für das \mathkor {} {nx=0} {und} {x^n =0} {} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {idempotentes Element}{}{.} Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_e }
{ \cong} { R/(1-e) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{\zusatzklammer {Dies zeigt erneut, dass $D(e)$ offen und abgeschlossen ist} {} {.}} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
\mathl{R \times S}{} der \definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathl{R \times S}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathl{R \times 0}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{p \in \Z}{} eine Primzahl und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen \definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{} \mathkor {} {0} {und} {1} {} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Schreibe den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Q[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\Q$ und $\Q[ { \mathrm i} ]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der nicht leer und nicht \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} sei. Zeige, dass es dann eine stetige Abbildung
\mathl{f:X \rightarrow \R}{,}
\mathl{f\neq 0,1}{,} \zusatzklammer {$\R$ sei mit der metrischen Topologie versehen} {} {} gibt, die \definitionsverweis {idempotent}{}{} im Ring der stetigen Funktionen auf $X$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {disjunkten Zerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X }
{ =} { U \uplus V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus \definitionsverweis {offenen Teilmengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U,V }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die natürliche Abbildung \maabbeledisp {} {C(X, \R) } {C(U, \R) \times C(V, \R) } {f} { ( f \vert_U, f \vert_V) } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es seien $a_1, \ldots ,a_n \in K$ verschiedene Elemente und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { (X-a_1){ \cdots }(X-a_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das Produkt der zugehörigen \definitionsverweis {linearen Polynome}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $K[X]/(F)$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} zum \definitionsverweis {Produktring}{}{} $K^n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Struktur
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[X]/(F) }
{ \cong} { K[T]/(T^{n_1}) \times \cdots \times K[T]/(T^{n_r}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt. Zeige, dass dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (F) }
{ =} { n_1 + \cdots + n_r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Reduktion}{}{} $S$. Zeige, dass die Abbildung, die den \definitionsverweis {idempotenten Elementen}{}{} aus $R$ ihre Restklasse in $S$ zuordnet, \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit einem Element
\mathl{n \in R}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n^2 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $R$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} {R/(n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es zu jedem \definitionsverweis {idempotenten Element}{}{} $e$ aus $S$ ein idempotentes Element aus $R$ gibt, dessen Restklasse gleich $e$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Reduktion}{}{} $S$. Zeige, dass es eine Folge von kommutativen Ringen
\mathbed {R_i} {}
{1 \leq i \leq n} {}
{} {} {} {,} und surjektiven \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {\varphi_i} {R_i} {R_{i+1} } {} derart gibt, dass die Gesamtabbildung
\mathdisp {R=R_0 \rightarrow R_1 \rightarrow R_2 \rightarrow \cdots \rightarrow R_{n-1} \rightarrow R_n = S} { }
die Reduktionsabbildung ist und jedes $\varphi_i$ der Restklassenhomomorphismus \maabbdisp {} {R} {R/(x_i) } {} zu einem Element $x_i \in R_i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_i^2 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $R_i$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Reduktion}{}{} $S$. Zeige, dass die Abbildung, die den \definitionsverweis {idempotenten Elementen}{}{} aus $R$ ihre Restklasse in $S$ zuordnet, \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass jeder Zwischenring
\mathbed {S} {}
{R \subseteq S \subseteq Q} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Betrachte die durch
\mathl{Y^2=X^3+X^2}{} gegebene Kurve $C$ (siehe Beispiel 6.3 und die offene Menge
\mathl{U=D(X) \subseteq C}{.} Finde eine abgeschlossene Realisierung von $U$ in ${ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }$ und zeige, dass es auch eine solche Realisierung in ${\mathbb A}^{2}_{K}$ gibt. Skizziere die Bildkurve unter der Abbildung \maabbeledisp {} {U} {{\mathbb A}^{2}_{K} } {(x,y)} { \left( \frac{1}{x}, y \right) } {.} Ist $U$ isomorph zu einer offenen Menge der affinen Geraden?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte zwei parallele Geraden $V$ und das Achsenkreuz $W$. Beschreibe eine möglichst natürliche surjektive Abbildung zwischen $V$ und $W$ (in welche Richtung?), und zwar sowohl geometrisch als auch algebraisch. Gibt es auch eine surjektive polynomiale Abbildung in die andere Richtung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} und die \definitionsverweis {idempotenten}{}{} Elemente in
\mathl{\Z/(175)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte den Durchschnitt der beiden algebraischen Kurven
\mathdisp {V(X^2+Y^2-1) \text{ und } V(Y-X^2)} { . }
Identifiziere den Restklassenring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { K[X,Y]/( X^2+Y^2-1,Y-X^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem \definitionsverweis {Produktring}{}{} und beschreibe die Restklassenabbildung
\mathl{K[X,Y] \rightarrow R}{} mittels dieser Identifizierung. Bestimme Urbilder in
\mathl{K[X,Y]}{} für sämtliche \definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{} des Produktringes.

}
{} {}