Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 19/latex

\setcounter{section}{19}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme \definitionsverweis {Idealerzeuger}{}{} für die durch \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{ K } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } } { t } { \left( t^2 , \, t^3 , \, t^4 \right) } {,} gegebene \definitionsverweis {monomiale Kurve}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme \definitionsverweis {Idealerzeuger}{}{} für die durch \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{ K } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } } { t } { \left( t^4 , \, t^5 , \, t^6 \right) } {,} gegebene \definitionsverweis {monomiale Kurve}{}{.}

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben besprechen wir eine algebraische Realisierung des \stichwort {Möbius-Bandes} {,} die auf dem Konzept eines Geradenbündels beruht.

Ein \definitionswort {Geradenbündel}{}
\mathl{L}{} auf einer \definitionsverweis {Varietät}{}{} $U$ \zusatzklammer {über einem Körper $K$} {} {} ist eine Varietät $L$ zusammen mit einem Morphismus \maabb {p} { L } { U } {} und einer offenen affinen Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \bigcup_{i \in I} U_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} derart, dass es Isomorphismen \maabbdisp {\varphi_i} {L {{|}}_{U_i } } { U_i \times {\mathbb A}^{1}_{ K } } {} über $U_i$ derart gibt, dass zu
\mathl{i,j}{} die Übergangsabbildungen \maabbdisp {\varphi_i{{|}}_{U_i \cap U_j } \circ \varphi_j^{-1} {{|}}_{U_i \cap U_j }} { U_i \cap U_j \times {\mathbb A}^{1}_{ K } } { U_i \cap U_j \times {\mathbb A}^{1}_{ K } } {} linear sind, also auf der Ringebene durch
\mathl{T \mapsto rT}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \in }{ \Gamma(U_i \cap U_j, {\mathcal O} )^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben sind.

Zu jeder Varietät $U$ gibt es das sogenannte \stichwort {triviale Geradenbündel} {}
\mathl{U \times {\mathbb A}^{1}_{K}}{.} Die Definition besagt, dass \anfuehrung{lokal}{} jedes Geradenbündel trivial ist, obwohl es \anfuehrung{global}{} keineswegs trivial sein muss.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $U$ eine \definitionsverweis {Varietät}{}{} und \maabb {p} { L } { U } {} ein \definitionsverweis {Geradenbündel}{}{} über $U$. Zeige, dass zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{}
\mathl{p^{-1} (P)}{} isomorph zu einer affinen Geraden
\mathl{{\mathbb A}^{1}_{ K }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $U$ eine \definitionsverweis {Varietät}{}{} und \maabb {p} { L } { U } {} ein \definitionsverweis {Geradenbündel}{}{} über $U$. Zeige, dass es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine wohldefinierte $K$-\definitionsverweis {Vektorraumstruktur}{}{} auf der \definitionsverweis {Faser}{}{}
\mathl{p^{-1} (P)}{} gibt.

}
{} {}

Aufgrund der vorstehenden Aussage besitzt jedes Geradenbündel einen \stichwort {Nullschnitt} {,} der über jedem Basispunkt
\mathl{P\in U}{} aus dem Nullpunkt in der Faser besteht.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $U$ eine reelle Varietät, \maabb {p} { L } { U } {} das triviale Geradenbündel und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z }
{ \subset }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Nullschnitt. Zeige, dass
\mathl{L \setminus Z}{} in der reellen Topologie nicht \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { D(X,Y) }
{ =} { {\mathbb A}^{2}_{ K } \setminus \{(0,0)\} }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ K } }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} { V(XU+YV) }
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zusammen mit der natürlichen Abbildung \maabb {p} {L {{|}}_U } { U } {.} Zeige, dass $L {{|}}_U$ das triviale Geradenbündel ist. Ist \maabbdisp {p} {L } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {} ein Geradenbündel?

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungsvg {Mobius strip illus} {svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Mobius strip illus.svg } {} {IkamusumeFan} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$. Wir betrachten den \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { K[X,Y]/{ \left( X^2+Y^2-1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die $S$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{B }
{ =} { K[X,Y,Z,W] / { \left( X^2+Y^2-1 , (1-X)Z -YW, YZ- (1+X) W \right) } }
{ =} { S[Z,W] / { \left( (1-X)Z -YW, YZ- (1+X) W \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( B \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der zugehörigen \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {p} { L = K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( B \right) } } { U = K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } {.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass \mathkor {} {D(1-X)} {und} {D(1+X)} {} eine offene affine Überdeckung von $U$ ist. }{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_{ 1-X } }
{ \cong} { S_{1-X} [W] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_{ 1+X } }
{ \cong} { S_{1+X} [Z] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} }{Zeige, dass $L$ ein Geradenbündel über $U$ ist. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Situation aus Aufgabe 19.7 zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei \maabbeledisp {\varphi} { [0, 2\pi] } { \R\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { t } { \left( \cos t , \, \sin t \right) } {,} die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Zeige, dass das Bild von \maabbeledisp {\psi} { [0, 2\pi] } { \R^4 } { t } { \left( \cos t , \, \sin t , \, \cos { \frac{ 1 }{ 2 } } t , \, \sin { \frac{ 1 }{ 2 } } t \right) } {,} in
\mathl{\R\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( B \right) }}{} landet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ = }{ p \circ \psi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt, und dass das Bild von $\psi$ niemals den Nullschnitt trifft.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Situation aus Aufgabe 19.7 zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{L}{} ohne den Nullschnitt, aufgefasst mit der metrischen Topologie, zusammenhängend ist. Folgere, dass dieses Geradenbündel nicht trivial ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { D(X,Y) }
{ =} { {\mathbb A}^{2}_{ K } \setminus \{(0,0)\} }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ K } }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} { V(XU+YV-1) }
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zusammen mit der natürlichen Abbildung \maabb {p} { L } { U } {.} Zeige, dass diese Abbildung die Eigenschaft aus Aufgabe 19.3 erfüllt, aber nicht die Eigenschaft aus Aufgabe 19.4.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass in
\mathl{K[X,Y,Z,W]}{} die drei Ideale
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { { \left( Z^2+W^2 -1, \, X - 2Z^2 +1 ,\, Y-2ZW \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b} }
{ =} { { \left( Z^2+W^2 -1 ,\, X^2+Y^2 -1 ,\, (1-X)Z -YW,\, YZ- (1+X) W \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak c} }
{ =} { { \left( Z^2+W^2 -1 ,\, (1-X)Z -YW,\, YZ- (1+X) W \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass durch \maabbeledisp {\varphi} { V(Z^2+W^2-1) } { V(X^2+Y^2-1) } { (Z,W) } { ( Z^2 - W^2 , 2ZW ) = (X,Y) } {.} ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{} des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ V(X^2+Y^2-1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus zwei Punkten besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S^1 }
{ =} { V(X^2+Y^2-1) }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} der reelle Einheitskreis. Zeige, dass zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abbildung \maabbeledisp {} {S^1} { S^1 } { \left( \cos t , \, \sin t \right) } { \left( \cos nt , \, \sin nt \right) } {,} ein algebraischer Morphismus ist.

}
{} {Tipp: Betrachte die Abbildung auf dem komplexen Einheitskreis.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{} von \definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_F }
{ \subseteq }{ S_F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ganz ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {Integritätsbereiche}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige: Wenn $f$, aufgefasst in $S$, eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, dann ist $f$ eine Einheit in $R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {ganzen Ringerweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wo es einen \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, der ein Nullteiler in $S$ wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { X^ 2-3X+7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} { Y^3-Y^2+4Y-5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Begründe, dass die Ringerweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq} { \Z[X,Y]/(P,Q) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {ganz}{}{} ist und finde eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{} für
\mathl{x+y}{} und für $xy$ \zusatzklammer {kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{} zwischen \definitionsverweis {endlichen}{}{} \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { R[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \zusatzklammer {als Algebra} {} {} \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ sei. Zeige, dass $S$ ein \definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{} $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} { R } { S } {} ein \definitionsverweis {ganzer Ringhomomorphismus}{}{} zwischen \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} und \maabb {} { R } { R' } {} ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch \maabbeledisp {\varphi'} {R'} { R' \otimes_{ R } S } { f } { f \otimes 1 } {,} ganz ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungzwei {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass $R$ \definitionsverweis {ganz-abgeschlossen}{}{} im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R[X]}{} ist. } { Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring $R$, der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das durch
\mathl{3,5,7}{} erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mathl{R,S,T}{} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$ \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ und $T$ ganz über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ ganz über $R$ ist.

}
{} {\zusatzklammer {Vergleiche Aufgabe 10.26} {} {.}}