Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 23/latex

\setcounter{section}{23}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial X_1 } }}{} die \zusatzklammer {formale} {} {} \definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{} bezüglich $X_1$, also die Abbildung \maabbeledisp {} { K[X_1 , \ldots , X_n] } { K[X_1 , \ldots , X_n] } { f } { { \frac{ \partial f }{ \partial X_1 } } } {.} Zeige, dass dies eine $K$-\definitionsverweis {Derivation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ R[X_1 , \ldots , X_m] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} darüber in $m$ Variablen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (X_1 , \ldots , X_m) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das von den Variablen \definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n }
{ = }{ P_{\geq n} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wobei $P_{\geq n}$ das Ideal in $P$ bezeichnet, das von allen \definitionsverweis {homogenen Polynomen}{}{} vom Grad $\geq n$ erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte das Achsenkreuz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(xy) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den zum Nullpunkt gehörigen \definitionsverweis {lokalen Ring}{}{} $R$ mit \definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$. Beschreibe explizit eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} für die \definitionsverweis {Restklassenringe}{}{} $R/{\mathfrak m}^n$ und bestimme die \definitionsverweis {Dimensionen}{}{} davon.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Idealen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}, {\mathfrak b} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ R/{\mathfrak b} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ {\mathfrak a} } }
{ = }{ {\mathfrak a}S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bildideal}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^n S }
{ = }{ \tilde{ {\mathfrak a} }^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{ F_m + \cdots + F_d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{} eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \leq }{d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (X,Y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {} {K[X,Y] } { K[X,Y] } { G } { FG } {,} einen injektiven, wohldefinierten $K[X,Y]$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {K[X,Y]/ {\mathfrak m}^{n-m} } { K[X,Y]/ {\mathfrak m}^{n} } {} festlegt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \defeq }{ \{0\} \cup \N_{ \geq e} }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme
\mathl{nM_+}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Bestimme
\mathl{{ \# \left( M \setminus nM_+ \right) }}{.} }{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[M]_{ {\mathfrak m} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (M_+) }
{ \subseteq }{ K[M] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme
\mathl{\dim_{ K } { \left( R/ {\mathfrak m}^n \right) }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3+XY^2 }
{ \in} { {\mathbb C}[X,Y] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} der ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V { \left( Y^4+X^3+3XY^2+2X^2Y \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom
\mathdisp {V^3+U^2V-2UV+2U^2-4U-2V} { }
gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungsvg {Cardioid} {svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cardioid.svg } {} {D.328} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Singularitäten \zusatzklammer {mit Multiplizitäten und Tangenten} {} {} der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für das durch die Erzeuger $4$ und $9$ gegebene \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die in den Abschätzungen von Lemma 23.8 auftretenden Ausdrücke bis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \leq }{ 6 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

In einigen Aufgaben wird die Krull-Dimension eines kommutativen Ringes verwendet. Da wir uns hauptsächlich für Kurven interessieren, denen eindimensionale Ringe entsprechen, werden wir keine systematische Dimensionstheorie entwickeln.

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Eine Kette aus \definitionsverweis {Primidealen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_0 }
{ \subset} { {\mathfrak p}_1 }
{ \subset} { \ldots }
{ \subset} { {\mathfrak p}_n }
{ } { }
} {}{}{} nennt man \definitionswort {Primidealkette der Länge}{} $n$ \zusatzklammer {es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale} {} {.} Die \definitionswort {Dimension}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Krulldimension}{}} {} {} von $R$ ist das \definitionsverweis {Supremum}{}{} über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{dim} { \left( R \right) }}{} bezeichnet.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,} der kein \definitionsverweis {Körper}{}{} sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} von $R$ gleich eins ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ =} { (X_1 , \ldots , X_n) }
{ \subseteq} { K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und seine \definitionsverweis {Potenzen}{}{} ${\mathfrak m}^d$. Zeige, dass die Monome
\mathbeddisp {X_1^{\nu_1 } \cdots X_n^{\nu_n }} {}
{\sum_{i = 1}^n \nu_i < d} {}
{} {} {} {,} eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} des \definitionsverweis {Restklassenringes}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n] / {\mathfrak m}^d}{} bilden.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne für das durch die Erzeuger
\mathl{5,8,11}{} gegebene Monoid
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die in den Abschätzungen von Lemma 23.8 auftretenden Ausdrücke bis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \leq }{ 5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{,} das in genau einem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/{\mathfrak a} }
{ \cong }{ R_{\mathfrak m}/{\mathfrak a} R_{\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal ${\mathfrak m}$ in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/{\mathfrak m}^n }
{ \cong }{ R_{\mathfrak m}/{\mathfrak m}^n R_{\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für jedes $n$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen. Zeige, dass $R$ die \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} zwei besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungfuenf{ $R$ hat \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} $0$. }{ $R$ ist ein \definitionsverweis {artinscher Ring}{}{.} }{ $R$ besitzt endlich viele \definitionsverweis {Primideale}{}{,} die alle \definitionsverweis {maximal}{}{} sind. }{Es gibt eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für jedes maximale Ideal ${\mathfrak m}$. }{Die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} von $R$ ist ein Produkt von Körpern. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} von endlicher \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} $d$. Zeige, dass die Krulldimension des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $R[X]$ mindestens
\mathl{d+1}{} ist.

}
{(Bemerkung: über einem noetherschen Grundring erhöht sich die Dimension beim Übergang zum Polynomring genau um eins, dies ist aber schwieriger zu beweisen.)} {}