Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 24/latex

\setcounter{section}{24}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve
\mathl{C \subset {\mathbb A}^{2}_{K}}{} mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{R[ \![T]\! ]}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {R[ \![T]\! ] } { R[ \![T]\! ] } {F} { a_0 } {,} die einer Potenzreihe ihren konstanten Term zuordnet, ein $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.} Man gebe die inverse Potenzreihe zu
\mathl{1-T}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{} $R[ \![T_1 , \ldots , T_n ]\! ]$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es sei
\mathl{RX_1 , \ldots , X_n}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{} über $R$. Es sei
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial X_1 } }}{} die \zusatzklammer {formale} {} {} \definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{} bezüglich $X_1$, also die Abbildung \maabbeledisp {} { R[ [X_1 , \ldots , X_n] ]} { R[ [X_1 , \ldots , X_n] ] } {f} { { \frac{ \partial f }{ \partial X_1 } } } {.} Zeige, dass dies eine $R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper,
\mathl{{\mathfrak m}=(T)\subset K[T]}{} das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R=K[T]_{\mathfrak m}}{.} Definiere einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {K[ \![T]\! ] } {} mit
\mathl{\varphi(T)=T}{,} wobei
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} den \definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{} bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{(T) }
{ \subset }{ K[T] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das zum Nullpunkt gehörige \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} mit der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[T]_{\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabbdisp {} {R} { K[ \![T]\! ] } {} der $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} aus Aufgabe 24.6. Zeige, dass sich unter dieser Abbildung die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von Elementen nicht ändert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_4$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition 24.8.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die Bedingung an die eingesetzte Potenzreihe in Lemma 24.9 notwendig ist.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man die konstante \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{} und sei \maabb {\delta} {M} {\N } {} ein \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} mit der Eigenschaft, dass zu jedem
\mathl{d \in \N}{} das Urbild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_d }
{ = }{ { \left\{ m \in M \mid \delta(m) = d \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} endlich sei. Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[ [M] ] }
{ =} { { \left\{ \sum_{m \in M} a_m T^m \mid a_m \in R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit naheliegenden Verknüpfungen eine kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist, die den \definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mathl{R[M]}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M=\N^r$ und sei \maabb {\delta} {\N^r} {\N } {} die Standardgraduierung auf $\N^r$, also die durch
\mathl{e_i \mapsto 1}{} gegebene Abbildung. Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} und sei
\mathl{R[ [\N^r] ]}{} wie in Aufgabe 24.10 definiert. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[ [\N^r] ] }
{ =} { R[ [T_1 , \ldots , T_r] ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom
\mathl{F \in \R[X,Y]}{} derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über ${\mathbb C}$ nicht möglich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte die Kurve
\mathl{C=V(X^2-Y^2-Y^3)}{} mit der in Beispiel 24.2 besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte
\mathl{t=-1,0,1}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${\mathbb C}$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe \mathkor {} {(K[X])[ \![Y]\! ]} {und} {(K[ \![Y]\! ])[X]} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} kommutativer Ring. Man zeige, dass
\mathl{R[[T_1, \ldots , T_{n}]]}{} noethersch ist.

}
{} {Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!}