Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 28/latex

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\setcounter{section}{28}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {kompakter Raum}{}{} und es sei $Y \subseteq X$ eine \definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{,} die die \definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{} trage. Zeige, dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {projektive Varietät}{}{} über ${\mathbb C}$ in der natürlichen Topologie \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $Y$ eine \definitionsverweis {projektive Varietät}{}{} über ${\mathbb C}$, die zugleich eine \definitionsverweis {affine Varietät}{}{} sei. Zeige, dass $Y$ eine endliche Punktmenge ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Y^3Z+Z^4 \right) } }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {glatt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+YZ^3+Z^4 \right) } }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {glatt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(F) }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {glatt}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
\mathdisp {\left( { \frac{ \partial F }{ \partial X } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Y } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Z } } \right)} { }
in keinem Punkt der Kurve simultan gleich $0$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring
\mathdisp {\Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) }} { . }
Was folgt daraus für einen Morphismus \maabb {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{K}$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät \stichwort {normal} {} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Definiere zu jedem
\mathl{n \in \Z}{} das Potenzieren
\mathl{x \mapsto x^n}{} als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} vom Grad $d$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(f) }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die zugehörige offene Teilmenge des \definitionsverweis {projektiven Raumes}{}{.} Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h }
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vom Grad $e$ die rationale Funktion
\mathl{{ \frac{ h }{ f^n } }}{} unter der Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ = }{nd }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{} \maabbdisp {{ \frac{ h }{ f^n } }} {D_+(f) } { K } {} definiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Seien $X$ und $Y$ \definitionsverweis {quasiprojektive Varietäten}{}{} und sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{Y= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine offene Überdeckung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{} ist, wenn die Einschränkungen
\mathl{\varphi_i : \varphi^{-1} (U_i) \rightarrow U_i}{} für jedes $i$ Morphismen sind

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{P,Q \in {\mathbb P}^{n}_{K}}{} Punkte im \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K} } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P) }
{ = }{Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der zugehörige \definitionsverweis {projektive Raum}{}{.} Es sei \maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1} } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} \aufzaehlungvier{Zeige, dass $\varphi$ einen \definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K} } { \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \varphi \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } {,} induziert. }{Bestimme das Urbild von
\mathl{D_+(X_i)}{} in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus? }{Zeige, dass \mathkor {} {\varphi_1} {und} {\varphi_2} {} genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\neq 0$ ineinander überführbar sind. }{Induziert jede lineare Abbildung \maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1} } {} einen Morphismus \maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K} } {?} }

}
{} {}

Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem \stichwort {projektiv-linearen Koordinatenwechsel} {.} Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathdisp {\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) } / { \left( K^{\times} \cdot \operatorname{Id} \cap \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) } \right) }} { }
heißt \definitionswort {projektive spezielle lineare Gruppe}{.} Sie wird mit
\mathdisp {\operatorname{PSL}_{ n } \! { \left( K \right) }} { }
bezeichnet.





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(s,t)} { (t,s) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der Hyperbel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(XY-1) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V { \left( Y-X^2 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {glatte}{}{} \definitionsverweis {Quadrik}{}{.} Zeige, dass auch der \definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{C} }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} glatt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} in einer Variablen über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(Y-F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der zugehörige \definitionsverweis {Graph}{}{,} aufgefasst als \definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{C} }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} des Graphen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{F,G \in K[X],\, G \neq 0}{,} \definitionsverweis {Polynome}{}{} in einer Variablen über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und sei
\mathl{F/G}{} die zugehörige \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Graph}{}{} zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als \definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{C} }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} des Graphen. Wo finden sich \anfuehrung{Asymptoten}{} im projektiven Abschluss wieder?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{C} }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} zusätzliche Punkte enthält.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ist die \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Z^3Y+Z^4 \right) } }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} isomorph zum \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} einer \definitionsverweis {monomialen Kurve}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(H) }
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} des Ideals $(H)$ gleich dem von der \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} von $H$ erzeugten Hauptideal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{} über den komplexen Zahlen und insbesondere die \anfuehrung{Punkte im Unendlichen}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ \defeq} {V { \left( X^4+Y^2 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\R} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\R$. \aufzaehlungzwei {Bestimme die Punkte von $V$ und den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} von $V$. } {Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} von
\mathl{X^4+Y^2}{} übereinstimmt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ \defeq} {V { \left( X^2+Y^2+1 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \Z/(2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit zwei Elementen. \aufzaehlungdrei{Bestimme die Punkte von $V$. }{Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} von $V$. }{Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} von
\mathl{X^2+Y^2+1}{} übereinstimmt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a} ) }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {affine Varietät}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{} von $V$ mit $V$ übereinstimmt.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lemniscate_of_Bernoulli.eps} }
\end{center}
\bildtext {Die Lemniskate von Bernoulli} }

\bildlizenz { Lemniscate of Bernoulli.svg } {} {Zorgit} {Commons} {PD} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2-X^2+Y^2 \right) }}{} gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Seien
\mathl{m+1}{} homogene Polynome
\mathl{F_0 , \ldots , F_m}{} in
\mathl{n+1}{} Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad $d$ besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge
\mathl{U \subseteq {\mathbb P}^{n}_{K}}{} gibt, auf der die Polynome einen Morphismus
\mathdisp {{\mathbb P}^{n}_{K} \supseteq U \longrightarrow {\mathbb P}^{m}_{K}} { }
definieren.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}} {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} den Zariski-Abschluss im ${\mathbb P}^{n}_{K}$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge
\mathl{V( {\mathfrak a}) \cap { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei $X$ eine irreduzible \definitionsverweis {quasiprojekive Varietät}{}{} mit Funktionenkörper
\mathl{L=K(X)}{.} Es seien $U$ und
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Teilmengen mit
\mathl{U=\bigcup_{i \in I} U_i}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} ) }
{ =} { \bigcap_{i \in I} \Gamma (U_i, {\mathcal O} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, wobei der Durchschnitt in $L$ genommen wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei $K$ ein Körper und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{.} Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen \definitionsverweis {algebraischen Funktionen}{}{} sind, d.h. es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma ( {\mathbb P}^{n}_{K} , {\mathcal O} ) }
{ =} { K }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Tschirnhausen_cubic.eps} }
\end{center}
\bildtext {Die Tschirnhausen Kubik} }

\bildlizenz { Tschirnhausen cubic.png } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}





\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( X^3+3X^2-Y^2 \right) }}{} gegebene
\definitionswortenp{Tschirnhausen Kubik}{} die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme für das durch
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY \right) }}{} definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.

}
{} {}

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