Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 4/latex

\setcounter{section}{4}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non_cohen_macaulay_scheme_thumb.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Non cohen macaulay scheme thumb.png } {} {Jakob.scholbach} {en.wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}

Finde ein \definitionsverweis {Ideal}{}{,} dessen \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} das folgende Gebilde ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige: $V$ ist genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} wenn $V$ einpunktig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere ein Beispiel einer \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {irreduziblen}{}{} \definitionsverweis {affin-algebraischen}{}{} Teilmenge.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Rectangular_hyperbola.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Rectangular hyperbola.svg } {} {Qef} {Commons} {PD} {}

Bestimme die irreduziblen Komponenten der reellen Hyperbel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und
\mathl{a \in K}{} von $0$ verschieden. Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^2+Y^2+a \in K[X,Y]\,} { }
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{{\mathfrak p} =(p) \subset K[X]}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass die Verschwindungsmenge
\mathl{V( {\mathfrak p} ) \subseteq {\mathbb A}^{1}_{K}}{} leer \zusatzklammer {und damit nicht irreduzibel} {} {} oder aber einpunktig \zusatzklammer {und damit irreduzibel} {} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} und
\mathl{{\mathfrak p} \subset K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Verschwindungsmenge}{}{}
\mathl{V( {\mathfrak p} ) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} nur dann irreduzibel ist, wenn sie einpunktig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das reelle Polynom
\mathdisp {P=X^ 2(X-1)^ 2+Y^2 { \left( X^ 2+ (X-1)^2 \right) } \in \R[X,Y]} { }
ein \definitionsverweis {Primpolynom}{}{} ist, und dass die Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(P) }
{ \subseteq} { \R^ 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht leer, aber reduzibel ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne in $\mathbb A^3_{\R}$ den Schnitt des Zylinders
\mathl{V(x^2+y^2-1)}{} mit der Kugel mit Mittelpunkt
\mathl{P=(0,0,0)}{} und Radius $r$ in Abhängigkeit von $r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?

}
{} {Man darf verwenden, dass der reelle Kreis irreduzibel ist.}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Menge der reellen Zahlen $\R$ mit der metrischen Topologie. Ist $\R$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $\Z/(p)$ der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.} Zeige: Jede Quadrik der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { aX^2+bY^2+c }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $a,b \neq 0$ hat mindestens eine Lösung in $\Z/(p)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn ${\mathfrak a}$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R} {K } {} in einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak m}}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak p} }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass aus einer Inklusionsbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cap {\mathfrak b} }
{ \subseteq} { {\mathfrak p} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b} }
{ \subseteq }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Es sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}{} ein Primideal in $R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines \definitionsverweis {maximalen Ideales}{}{} kein maximales Ideal sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen \mathkor {} {K} {und} {L} {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erkläre, wo der Beweis zu Satz 4.8 zusammenbricht, wenn man ihn auf mehr als zwei Variablen ausdehnen will.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $P(X)$ und $Q(Y)$ nichtkonstante Polynome in der einen angegebenen Variablen. Man gebe eine Abschätzung \zusatzklammer {unter welcher Bedingung} {?} {} für die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Kurven
\mathl{V(Y-P(X))}{} und
\mathl{V(X-Q(Y))}{.}

}
{} {}

In den folgenden Aufgabe werden die Begriffe \stichwort {abgeschlossene Abbildung} {} und \stichwort {offene Abbildung} {} verwendet.

Eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} $X$ und $Y$ heißt \definitionswort {abgeschlossen}{,} wenn Bilder von \definitionsverweis {abgeschlossenen Mengen}{}{} wieder abgeschlossen sind.

Sie heißt \stichwort {offen} {,} wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Projektion \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{} } {(x,y)} {x } {,} nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen $\mathbb C$ nicht \definitionsverweis {kompakt}{}{} in der metrischen Topologie ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $\geq 3$ und $\Z/(p)$ der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.} Es sei ein Polynom
\mathl{F \in \Z/(p) [X,Y]}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { \alpha X^2+\beta XY + \gamma Y^2 + \delta X + \epsilon Y + \eta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} (wenn $\alpha, \beta, \gamma$ nicht alle $0$ sind, so ist das eine Quadrik) die folgenden drei Alternativen bestehen. \aufzaehlungdrei{$V(F)$ besitzt mindestens einen Punkt. }{
\mathl{F= c}{} mit einer Konstanten
\mathl{c\neq 0}{.} }{Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt $Z^2-u$ mit einem Nichtquadrat $u \in \Z/(p)$ besitzt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Sei $V$ eine irreduzible, affin-algebraische Menge mit mindestens zwei Punkten und seien
\mathl{P_1, \ldots , P_m \in V}{} endlich viele Punkte darin. Zeige, dass dann auch
\mathl{V \setminus \{ P_1, \ldots , P_m\}}{} \zusatzklammer {in der induzierten Topologie} {} {} irreduzibel ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$. Zeige: Wenn
\mathl{F,G \in R[X]}{} keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in
\mathl{Q(R)[X]}{} ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.

}
{\zusatzklammer {Man darf sich auf Hauptidealbereiche $R$ beschränken.} {} {}} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{K= \mathbb Q}{} der \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{.} Begründe, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V(X^2+Y^2-1) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\Q} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist oder nicht.

}
{} {Tipp: Man verwende Aufgabe 1.25 und Korollar 4.9.}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die Projektion \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {(x,y)} {x } {,} \definitionsverweis {offen}{}{} in der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die affine Ebene $\mathbb A^2_K$ mit der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.

}
{} {}