Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 5/latex

\setcounter{section}{5}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{F \in K[X_1, \ldots , X_n]}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} mit Nullstellenmenge $V(F)$. Zeige, dass für jeden Punkt
\mathl{P\in V(F)}{} und jeden Skalar
\mathl{\lambda \in K}{} auch
\mathl{\lambda P \in V(F)}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Faktorzerlegegung für die Polynome
\mathdisp {X^n-Y^n \in {\mathbb C}[X,Y]} { }
für
\mathl{n \in \N_+}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.} Zeige: $F$ zerfällt in \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{F \in K[X_1, \ldots , X_n]}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.} Es sei
\mathl{F=GH}{} ein Faktorzerlegung. Zeige, dass \mathkor {} {G} {und} {H} {} ebenfalls homogen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {homogenes Polynom }{}{} unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer \definitionsverweis {affin-linearen Variablentransformation }{}{} nicht sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für affin-algebraische Mengen
\mathl{V,V' \subseteq \mathbb A^n_K}{} die Beziehung der \definitionsverweis {affin-linearen Äquivalenz}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{P=(a,b)}{} ein Punkt in der affinen Ebene und $L$ und $L'$ verschiedene Geraden durch $P$. Es sei
\mathbed {C = V(F)} {}
{F \in K[X,Y]} {}
{} {} {} {,} eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation \zusatzklammer {einen Koordinatenwechsel} {} {} derart, dass in den neuen Koordinaten $P$ der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei sowohl
\mathl{C}{} als auch $D$ eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von drei \zusatzklammer {verschiedenen} {} {} Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es einen \definitionsverweis {affin-linearen Koordinatenwechsel}{}{} gibt, der $C$ in $D$ überführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei sowohl
\mathl{C}{} als auch $D$ eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von vier \zusatzklammer {verschiedenen} {} {} Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es im Allgemeinen keinen \definitionsverweis {affin-linearen Koordinatenwechsel}{}{} gibt, der $C$ in $D$ überführt.

}
{} {}

Die folgenden zwei Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.

\inputaufgabe
{}
{

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom $Y$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wende \zusatzklammer {den Beweis zu} {} {} Satz 5.4 auf die Hyperbel
\mathl{XY-1}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wende \zusatzklammer {den Beweis zu} {} {} Satz 5.4 auf das Polynom
\mathl{X^2Y^3+5X^3Y^2-X^2Y^2+3Y+7\in {\mathbb C}[X]}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{F\in \mathbb C[X,Y]}{} ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve
\mathl{C=V(F)}{} überabzählbar viele Elemente besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \{P_1 , \ldots , P_n \} }
{ \subseteq }{ K^2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen \definitionsverweis {Körper}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei \definitionsverweis {algebraischen Kurven}{}{} erhalten kann. } {Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei \definitionsverweis {irreduziblen}{}{} algebraischen Kurven erhalten kann. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Bild $\tilde{F}$ des Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { X^2Y+3XY-Y^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter dem durch
\mathdisp {X \longmapsto T^2+S-3,\, Y \longmapsto 3TS+S^2-T} { }
definierten Einsetzungshomomorphismus \maabbdisp {} {K[X,Y] } { K[S,T] } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und es sei
\mathl{F\in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung \maabbdisp {F} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {{ {\mathbb A}_{ K }^{ 1 } } } {.} Zeige mit und ohne Satz 5.10, dass das Bild von $F$ einpunktig oder unendlich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen und
\mathdisp {P_1 , \ldots , P_n \in {\mathbb A}^{2}_{K}} { }
$n$ Punkte in der affinen Ebene. Zeige, dass es genau dann eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {} mit
\mathl{\operatorname{bild} \varphi = \{P_1 , \ldots , P_n \}}{} gibt, wenn
\mathl{1 \leq n \leq q}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung \maabbdisp {} {{\mathbb A}^{2}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {} derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {K^n} {K^n } { \left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right) } { \left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right) } {,} die einem Nullstellentupel
\mathl{\left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right)}{} das Koeffiziententupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{} \zusatzklammer {ohne die $1$} {} {} des \definitionsverweis {normierten Polynoms}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X- \lambda_1) (X- \lambda_2) \cdots (X- \lambda_n) }
{ =} { P }
{ =} { c_0 +c_1X + \cdots + c_{n-1}X^{n-1} +X^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zuordnet. \aufzaehlungsieben{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Begründe, dass die $\varphi$ \definitionsverweis {polynomiale Abbildungen}{}{} sind. }{Zeige, dass die \definitionsverweis {Fasern}{}{} von $\varphi$ endlich sind. }{Wann ist die Faser zu einem Tupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{} leer? }{Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erreicht wird. }{Es sei $K$ nun \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ r } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {} eine polynomiale Abbildung und sei
\mathl{T \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ r } }}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{\varphi(T)} }
{ =} { \overline{\varphi(\overline{T} ) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Aussage von Aufgabe 5.20 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass die Abbildung polynomial ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Wie viele Monome vom \definitionsverweis {Grad }{}{} $d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y }
{ =} { { \frac{ X^2-2X }{ X^2-1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {(x,y)} {(x,xy) } {.} Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte das \stichwort { Ellipsoid} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} {V(2x^2+3y^2+4z^2-5) }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid 2x^2+3y^2+4z^2 = 5 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde eine affin-lineare Variablentransformation(über $\R$) derart, dass das Bild von $E$ unter der Abbildung die \stichwort {Standardkugel} {}
\mathl{V(x^2+y^2+z^2-1)}{} wird.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Elipsoid_trojosy321.png} }
\end{center}
\bildtext {Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.} }

\bildlizenz { Elipsoid trojosy321.png } {} {Pajs} {cz. Wikipedia} {gemeinfrei} {}

\inputaufgabe
{}
{

Seien $V$ und $\tilde{V}$ \definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{} in ${\mathbb A}^{2}_{K}$ zu
\mathl{K= \Z/(2)}{.} Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann \definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{} sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.

}
{Zeige ebenso, dass dies bei
\mathl{K=\Z/(p)}{} für
\mathl{p \geq 3}{} und auch für
\mathl{{ {\mathbb A}_{ \Z/(2) }^{ n } }}{} für
\mathl{n \geq 3}{} nicht gilt.} {}