Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
$V(F)$. Zeige, dass für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jeden Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda P
}
{ \in }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Faktorzerlegung für die Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-Y^n
}
{ \in} { {\mathbb C}[X,Y]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.}
Zeige: $F$ zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ GH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Faktorzerlegung. Zeige, dass
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
ebenfalls homogen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {homogenes Polynom }{}{} unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer \definitionsverweis {affin-linearen Variablentransformation }{}{} nicht sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für
\definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V,V'
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung der
\definitionsverweis {affin-linearen Äquivalenz}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (a,b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt in der affinen Ebene und $L$ und $L'$ verschiedene Geraden durch $P$. Es sei
\mathbed {C = V(F)} {}
{F \in K[X,Y]} {}
{} {} {} {,}
eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation
\zusatzklammer {einen Koordinatenwechsel} {} {}
derart, dass in den neuen Koordinaten $P$ der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei sowohl $C$ als auch $D$ eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von drei \zusatzklammer {verschiedenen} {} {} Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es einen \definitionsverweis {affin-linearen Koordinatenwechsel}{}{} gibt, der $C$ in $D$ überführt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei sowohl
\mathl{C}{} als auch $D$ eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von vier
\zusatzklammer {verschiedenen} {} {}
Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es im Allgemeinen keinen
\definitionsverweis {affin-linearen Koordinatenwechsel}{}{}
gibt, der $C$ in $D$ überführt.
}
{} {}
Die folgenden zwei Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.
\inputaufgabe
{}
{
Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom $Y$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wende
\zusatzklammer {den Beweis zu} {} {}
Satz 5.4
auf die Hyperbel
\mathl{XY-1}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wende
\zusatzklammer {den Beweis zu} {} {}
Satz 5.4
auf das Polynom
\mathl{X^2Y^3+5X^3Y^2-X^2Y^2+3Y+7\in {\mathbb C}[X]}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ {\mathbb C} [X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {überabzählbar}{}{}
viele Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ \subseteq }{ K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei
\definitionsverweis {algebraischen Kurven}{}{}
erhalten kann.
}{Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{}
algebraischen Kurven erhalten kann.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Bild $\tilde{F}$
des Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { X^2Y+3XY-Y^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unter dem durch
\mathdisp {X \longmapsto T^2+S-3,\, Y \longmapsto 3TS+S^2-T} { }
definierten Einsetzungshomomorphismus
\maabbdisp {} {K[X,Y] } { K[S,T]
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung
\maabbdisp {F} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 1 } }
} {.}
Zeige mit und ohne
Satz 5.10,
dass das Bild von $F$ einpunktig oder unendlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in} { {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
$n$ Punkte in der affinen Ebene. Zeige, dass es genau dann eine
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{ K } } { {\mathbb A}^{2}_{ K }
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ = }{ \{ P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \leq }{ n
}
{ \leq }{ q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung \maabbdisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {} derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K^n } { K^n
} { \left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right) } { \left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)
} {,}
die einem Nullstellentupel
\mathl{\left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right)}{} das Koeffiziententupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{}
\zusatzklammer {ohne die $1$} {} {}
des
\definitionsverweis {normierten Polynoms}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X- \lambda_1) (X- \lambda_2) \cdots (X- \lambda_n)
}
{ =} { P
}
{ =} { c_0 +c_1X + \cdots + c_{n-1}X^{n-1} +X^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zuordnet.
\aufzaehlungsieben{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Begründe, dass die $\varphi$
\definitionsverweis {polynomiale Abbildungen}{}{}
sind.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
von $\varphi$ endlich sind.
}{Wann ist die Faser zu einem Tupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{} leer?
}{Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreicht wird.
}{Es sei $K$ nun
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ r } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
eine
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ r } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{\varphi(T)}
}
{ =} { \overline{\varphi(\overline{T} ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Aussage von Aufgabe 5.20 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass die Abbildung polynomial ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Wie viele \definitionsverweis {Monome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Wende den Beweis zu
Satz 5.4
auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y
}
{ =} { { \frac{ X^2-2X }{ X^2-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{ K } } { {\mathbb A}^{2}_{ K } } {(x,y)} {(x,xy) } {.} Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte das \stichwort { Ellipsoid} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E
}
{ =} { V(2x^2+3y^2+4z^2-5)
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid 2x^2+3y^2+4z^2 = 5 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde eine affin-lineare Variablentransformation
\zusatzklammer {über $\R$} {} {} derart, dass das Bild von $E$ unter der Abbildung die \stichwort {Standardkugel} {}
\mathl{V(x^2+y^2+z^2-1)}{} wird.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungpng {Elipsoid_trojosy321} {png} }
\end{center}
\bildtext {Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.} }
\bildlizenz { Elipsoid trojosy321.png } {} {Pajs} {cz. Wikipedia} {gemeinfrei} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V$ und $\tilde{V}$
\definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
in ${\mathbb A}^{2}_{ K }$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/( 2 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann
\definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{}
sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.
}
{Zeige ebenso, dass dies bei
\mathl{K=\Z/(p)}{} für
\mathl{p \geq 3}{} und auch für
\mathl{{ {\mathbb A}_{ \Z/(2) }^{ n } }}{} für
\mathl{n \geq 3}{} nicht gilt.} {}
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