Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \anfuehrung{Kugelschnitte}{.} Welche davon sind \definitionsverweis {Kegelschnitte}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \anfuehrung{Zylinderschnitte}{.} Welche davon sind \definitionsverweis {Kegelschnitte}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Kegelschnitte, die sich als Schnitt mit einer Ebene ergeben, die durch den Nullpunkt verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass parallele Ebenen, die beide nicht durch den Nullpunkt gehen, den gleichen Typ von Kegelschnitt definieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den Standardkegel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(Z^2-X^2-Y^2)
}
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Ebenen, die durch die Drehachse
\mathl{V(X,Z)}{} verlaufen. Bestimme, in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\alpha$
\zusatzklammer {gemessen in der
\mathl{x-z}{-}Ebene gegen den Uhrzeigersinn} {} {,}
den Typ des durch die Ebene $E_\alpha$ gegebenen Kegelschnitts.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den Standardkegel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(Z^2-X^2-Y^2)
}
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Ebenen, die durch die Drehachse
\mathl{V(X-1,Z)}{} verlaufen. Bestimme, in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\alpha$
\zusatzklammer {gemessen in der
\mathl{x-z}{-}Ebene gegen den Uhrzeigersinn} {} {,}
den Typ des durch die Ebene $E_\alpha$ gegebenen Kegelschnitts.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den Standardkegel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(Z^2-X^2-Y^2)
}
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Ebenen, die durch die Drehachse
\mathl{V(X-1,Z-1)}{} verlaufen. Bestimme, in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\alpha$
\zusatzklammer {gemessen in der
\mathl{x-z}{-}Ebene gegen den Uhrzeigersinn} {} {,}
den Typ des durch die Ebene $E_\alpha$ gegebenen Kegelschnitts.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Transformiere die Quadrik
\mathdisp {2x^2+xy-3y^2+5x-y+3} { }
auf eine reelle Standardgestalt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Parametrisiere die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { 2x^2-xy+3y^2+x-5y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Quadrik mit Hilfe des Nullpunktes und der Geraden
\mathl{V(y-1)}{}.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die beiden Kreise
\mathdisp {X^2+Y^2=1 \text{ und } 4X^2+3Y^2 =9} { . }
Zeige, dass die beiden Kreise über $\R$
\definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{}
sind, aber nicht über $\Q$.
}
{} {Tipp: Eine Argumentationsmöglichkeit ergibt sich aus
Satz 67.2 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)).}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $F=(0,0)$ der Nullpunkt in der reellen Ebene und $G=V(X-1)$. Es sei $e >0$ eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte $P=(x,y)$ mit der Eigenschaft, dass der Abstand $d(P,F)$ proportional mit Proportionalitätsfaktor $\sqrt{e}$ zum (senkrechten) Abstand $d(P,G)$ ist.
Zeigen Sie, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei $e<1$ eine Ellipse, bei $e=1$ eine Parabel und bei $e>1$ eine Hyperbel vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das Bild der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{-1,0,1\}} { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( { \frac{ t }{ t^2-1 } } , \, { \frac{ 1 }{ t } } \right) } {} eine nichttriviale algebraische Gleichung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(X^{d+1}-Y^d)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte algebraische Kurve $C$
\zusatzklammer {\mathlk{d \geq 1}{}} {} {.}
Zeige, dass man mit dem Nullpunkt und der Geraden
\mathl{V(X-1)}{} eine Parametrisierung von $C$ erhält mit der im Beweis zu
Satz 7.6
beschriebenen Methode.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben besprechen wir ein Automorphismuskonzept, das über affin-lineare Koordinatenwechsel hinausgeht.
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {} heißt \zusatzklammer {polynomialer} {} {} \definitionswort {Automorphismus des affinen Raumes}{,} wenn sie eine polynomiale \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} besitzt.
Ein Automorphismus des affinen Raumes ist das gleiche wie ein
$K$-\definitionsverweis {Algebra-Automorphismus}{}{}
des Polynomrings
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} in sich. Er wird durch $n$ Polynome in $n$ Variablen gegeben.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K[X]} {K[X]
} {}
durch
\mathl{X \mapsto aX+b}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist
\zusatzklammer {also durch eine
\definitionsverweis {affin-lineare}{}{}
Variablentransformation} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine bijektive \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {,} deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} nicht polynomial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} zur Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } }
} {}
ein
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
des affinen Raumes. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
konstant gleich einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
Das \stichwort {Jacobi-Problem} {} ist die Frage, ob eine polynomiale Abbildung
\maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } }
} {,}
für den die Jacobi-Determinante konstant gleich $1$ ist, eine polynomiale Umkehrabbildung besitzt
\zusatzklammer {also ein Automorphismus des affinen Raumes ist} {} {.}
Diese Problem ist schon bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen. Aufgrund
des Satzes über die Umkehrabbildung
gibt es unter der gegebenen Voraussetzung in jedem Punkt lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K}
} {(x,y)} {(x,y+F(x))
} {,}
ein
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
des
\definitionsverweis {affinen Raumes}{}{}
ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.
}
{} {}
Zwei
\definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V, \tilde{V}
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \definitionswort {affin-algebraisch äquivalent}{,} wenn es einen
\definitionsverweis {Automorphismus des affinen Raumes}{}{}
\maabb {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(V)
}
{ =} {\tilde{V}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V(Y-F(X))
}
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Graph}{}{.}
Zeige, dass $C$ zur $x$-Achse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(Y)
}
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {affin-algebraisch äquivalent}{}{}
ist, aber im Allgemeinen nicht
\definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V , \tilde{V}
}
{ \subset} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {affin-algebraisch äquivalente}{}{}
\definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Verschwindungsidealen}{}{}
\mathkor {} {\operatorname{Id} \,(V)} {und} {\operatorname{Id} \,(\tilde{V} )} {.}
Zeige, dass dann die
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mathkor {} {K[X_1 , \ldots , X_n] / \operatorname{Id} \,(V)} {und} {K[X_1 , \ldots , X_n] / \operatorname{Id} \,(\tilde{V} )} {}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Quadriken im $\R^2$ \zusatzklammer {im ${\mathbb C}^2$} {} {} sind zueinander \definitionsverweis {affin-algebraisch äquivalent}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Quadriken zu \definitionsverweis {homogenen}{}{} quadratischen Polynomen in zwei Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Führe für die rationale Quadrik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C = V(X^2+Y^2-5)
}
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{\Q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine rationale Parametrisierung im Sinne von
Satz 7.6
mit dem Hilfspunkt
\mathl{(1,2)}{} und einer geeigneten Geraden durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \mod 4
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Begründe unter Bezug auf
Satz 9.10 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)),
dass die rationale Quadrik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C = V(X^2+Y^2-p)
}
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{\Q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
leer ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das keine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
in $R$ besitze. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2 -r
}
{ \in }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mathl{r \in R}{} ein Element, das in $R$ keine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
besitze. Wir betrachten die
\definitionsverweis {quadratische Ringerweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ \subset} {R [X]/(X^2-r)
}
{ \defeqr} {S
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Elemente
\mathl{f \in R}{,} die in $S$ eine Quadratwurzel besitzen, von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{y \in R}{} oder von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {r z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{z \in R}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{p}{} und $q$ verschiedene
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{.}
Zeige, dass die
\zusatzklammer {über $\Q$ definierten} {} {}
Quadriken
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C = V(X^2+Y^2-p), D = V(X^2+Y^2-q)
}
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{\Q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht zueinander
\definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{}
sind.
}
{} {Tipp: Wende die vorstehende Aufgabe auf
\mathl{R=K[Y]}{} und
\mathl{S=(K[Y])[X]/(X^2-Y^2+p)}{} an.}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{6}
{
Finde für die verschiedenen
reellen Quadriken
eine Realisierung als Kegelschnitt, also als Schnitt einer Ebene mit dem Kegel
\mathl{V(x^2+y^2-z^2)}{,} oder beweise, dass es eine solche Realisierung nicht gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{9}
{
Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {(u,v)} { (u^2+uv,v-u^2) = (x,y) } {.} Bestimme zu den drei folgenden Scharen aus parallelen Geraden die Bildkurven der Geraden unter dieser Abbildung \zusatzklammer {man gebe sowohl eine Parametrisierung als auch eine Kurvengleichung} {} {.} \aufzaehlungdrei{Die zur $u$-Achse parallelen Geraden, }{die zur $v$-Achse parallelen Geraden, }{die zur Antidiagonalen parallelen Geraden. } Bestimme zu jeder Schar, ob sich die Bildkurven überschneiden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{F,G \in K[X_1, \ldots, X_n]}{} Polynome und
\mathl{K \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffe aus der siebten Vorlesung für $F$ und $G$ (und für $V(F)$ und $V(G)$) unter dem Körperwechsel verhalten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die beiden Restklassenringe
\mathdisp {R=\R [X,Y]/(X^2+Y^2-1) \text{ und } S=\R [X,Y]/(XY-1)} { . }
Zeige: $S$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,}
$R$ hingegen nicht.
}
{(Das sind die Ringe, die zum reellen Kreis und zur reellen Hyperbel gehören.) } {Tipp: Man betrachte für $R$ das Ideal $(X-1,Y)$.}
\inputaufgabe
{4}
{
Parametrisiere die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { x^2+2xy-y^2+x-3y+4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Quadrik
\mathl{C=V(F)}{} mit Hilfe des Punktes
\mathl{(1,2) \in C}{} und der $y$-Achse. Führe keine Variablentransformation durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Betrachte in ${\mathbb A}^{2}_{\R}$ die beiden Nullstellenmengen
\mathdisp {K=V(X^2+Y^2-1) \text{ und } C=V(X^4+Y^4-1)} { . }
Zeige, dass es eine polynomiale Abbildung in zwei Variablen gibt, die die eine Nullstellenmenge surjektiv auf die andere abbildet. Zeige, dass diese Abbildung schon über $\Q$ definiert ist, dort aber nicht surjektiv ist. Zeige ferner, dass es über $\Q$ überhaupt keine surjektive polynomiale Abbildung von $C$ nach $K$ geben kann und dass es nur die konstanten polynomialen Abbildungen von $K$ nach $C$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei
\mathl{F \in K[X,Y]}{} ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Kurve $V(F)$ genau dann
\definitionsverweis {rational}{}{}
ist, wenn es einen injektiven $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {Q(K[X,Y]/(F)) } { K(T)
} {}
gibt.
}
{(Hier steht links der Quotientenkörper und rechts der rationale Funktionenkörper.)} {}
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