Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Lieblingspolynome/Textabschnitt

Als Lieblingspolynome in den zwei Variablen ${}X$ und ${}Y$ wurden im Kurs angeführt:

• ${}X$,
• ${}X^{2}$,
• ${}3X+5Y+7$,
• ${}X^{2}+2XY+2$,
• ${}X^{2}+2XY+Y^{2}$,
• ${}X^{2}+Y^{2}$,
• ${}X^{2}-Y^{2}$,
• ${}X^{3}-4Y+2$,
• ${}X^{3}+Y^{3}+XY+2$,
• ${}X^{2}-Y^{5}$.

Das zugehörige Nullstellengebilde ${}V(F)$ ist unterschiedlich schwierig zu erfassen. Es ist ${}V(X)$ einfach die ${}y$-Achse, und das gilt auch für ${}V(X^{2})$. Die Nullstellenmenge zu ${}3X+5Y+7$ ist einfach die Lösungsmenge dieser linearen Gleichung, also eine affine Gerade. Nach der binomischen Formel ist ${}X^{2}+2XY+Y^{2}=(X+Y)^{2}$ und die Nullstellenmenge ist einfach die Nebendiagonale. Die reelle Nullstellenmenge zu ${}X^{2}+Y^{2}$ ist allein der Nullpunkt ${}(0,0)$. Wegen

${}X^{2}-Y^{2}=(X-Y)(X+Y)\,$

ist die zugehörige Nullstellenmenge die Vereinigung aus der Diagonalen und der Nebendiagonalen. Die folgende Gleichung

${}X^{3}-4Y+2=0\,$

kann man nach

${}Y={\frac {-X^{3}+2}{4}}\,$

auflösen, die Nullstellenmenge ist also der Graph eines Polynoms vom Grad ${}3$. Polynome vom Grad zwei wie ${}X^{2}+2XY+2$ werden wir als Kegelschnitte in der sechsten Vorlesung erfassen. Das Polynom ${}X^{2}-Y^{5}$ definiert ähnlich wie die Neilsche Parabel eine sogenannte monomiale Kurve, diese werden wir in der 18ten Vorlesung behandeln. Das Polynom ${}X^{3}+Y^{3}+XY+2$ kommt auch irgendwann dran.