Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 12

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man erläutere das Konzept eines Punktes in der euklidischen (koordinatenfreien) Geometrie und in der kartesischen Geometrie. In welchen Situationen ist der Übergang zu Koordinaten sinnvoll?

Aufgabe

Was ist ein Punkt in der algebraischen Geometrie? Welche Punktkonzepte haben Sie in dem Kurs über algebraische Kurven kennengelernt und wie hängen diese miteinander zusammen?

Aufgabe

Bestimme das $K$-Spektrum von $K^d$.

Aufgabe

Bestimme das $ℝ$-Spektrum der $ℝ$-Algebra $ℂ$.

Aufgabe

Bestimme das $ℝ$-Spektrum von $ℝ[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die Punkte aus $K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$ den maximalen Idealen in $R$ entsprechen.

Aufgabe

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal  $𝔞\subseteq R$  in $K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$ die Gleichheit

$V(𝔞)=V(\mathrm{rad}(𝔞))$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem $K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen $K$-Algebra $R$ wirklich eine Topologie ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei  $V\subseteq {𝔸}_K^n$  eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal $\mathrm{Id}\left(V\right)$ und Koordinatenring

$R:=K[X_1,\dots ,X_n]/\mathrm{Id}\left(V\right).$

Zeige, dass das $K$-Spektrum von $R$ homöomorph zu $V$ ist.

Sämtliche Versionen des Hilbertschen Nullstellensatz wie Korollar 11.11 übertragen sich auf das $K$-Spektrum einer endlich erzeugten $K$-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ. Beweise, dass zwischen den abgeschlossenen Teilmengen des $K$-Spektrums $K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$ und den Radikalen in $R$ eine bijektive Korrespondenz besteht.

Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine reduzierte $K$-Algebra von endlichem Typ. Beweise den Identitätssatz in der folgenden Gestalt: Wenn für  $f,g\in R$  gilt, dass  $f(P)=g(P)$  ist für alle  $P\in K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$,  so ist  $f=g$. 

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra, sei  $𝔞\subseteq R$  ein Ideal und sei  $X=K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$.  In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

$V(𝔞)=\mathrm{\varnothing }\text{ und }𝔞\text{ ist das Einheitsideal}$

und die beiden Aussagen

$V(𝔞)=X\text{ und }𝔞\text{ ist nilpotent}$

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob $K$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.

Aufgabe

Man beschreibe zu einer kommutativen $K$-Algebra $R$ von endlichem Typ die Spektrumsabbildung, die zum Strukturhomomorphismus $K\to R$ der Algebra gehört.

Aufgabe

Es seien $R,S,T$ kommutative $K$-Algebren von endlichem Typ und $\phi :R\to S$ und $\psi :S\to T$ seien $K$-Algebrahomomorphismen. Man zeige, dass für die zugehörigen Spektrumsabbildungen

$(\psi \circ \phi {)}^{\ast }={\phi }^{\ast }\circ {\psi }^{\ast }$

gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität $\mathrm{Id}:R\to R$ auch ${\mathrm{Id}}^{\ast }$ die Identität ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen $K$-Algebren $R,S$ von endlichem Typ und einer stetigen Abbildung zwischen den zugehörigen $K$-Spektren, die nicht von einem $K$-Algebrahomomorphismus herrühren kann.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ, und sei  $F\in R$.  Es sei

${\phi }^{\ast }:K-\mathrm{Spek}\left(R\right)⟶{𝔸}_K^1$

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung. Zeige, dass

$({\phi }^{\ast }{)}^{-1}(0)=V(F)$

ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ mit der Reduktion  $S=R_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}$.  Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

$K-\mathrm{Spek}\left(R\right)\cong K-\mathrm{Spek}\left(S\right)$

gibt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien  $F_i\in K[X_1,\dots ,X_n]$  Polynome für  $i=1,\dots ,m$.  Es sei

$\phi :K[Y_1,\dots ,Y_m]⟶K[X_1,\dots ,X_n],Y_i⟼F_i,$

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Zeige, dass die Spektrumsabbildung

${\phi }^{\ast }:{𝔸}_K^n=K-\mathrm{Spek}(K[X_1,\dots ,X_n])⟶{𝔸}_K^m=K-\mathrm{Spek}(K[Y_1,\dots ,Y_m])$

(über die Identifizierung aus Lemma 12.3) mit der direkten polynomialen Abbildung

$(x_1,\dots ,x_n)⟼(F_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,F_m(x_1,\dots ,x_n))$

übereinstimmt.

Aufgabe

Welche „Funktoren“ in der Mathematik kennen Sie?

Bei den folgenden Aufgaben betrachten wir zu einem beliebigen topologischen Raum (Mannigfaltigkeit, Teilmenge des ${ℝ}^n$, reelles Intervall) den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen darauf. Dabei sollte man die Räume in Analogie zu den $K$-Spektren und die Funktionenringe in Analogie zu den (Koordinaten)- ringen sehen.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und

$R=C(X,ℝ)=\{f:X⟶ℝ\mid f\text{ stetige Abbildung}\}.$

Zeige, dass $R$ ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe

Wir betrachten den Ring  $R=C(ℝ,ℝ)$  der stetigen Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?

Aufgabe

Es sei  $T\subseteq ℝ$  eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der stetigen Funktionen

$R=C(ℝ,ℝ)$

die Teilmenge

$I=\{f\in R\mid f(x)=0\text{ für alle }x\in T\}$

ein Ideal in $R$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten das Ideal zu  $T=\{0\}\subseteq ℝ$  im Sinne von Aufgabe 12.22. Ist dies ein Hauptideal?

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und  $R={\mathrm{C}}^0(X,ℝ)$  der Ring der stetigen Funktionen auf $X$. Es sei  $T\subseteq X$  eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

$I=\{f\in R\mid f{|}_T=0\}$

ein Ideal in $R$ ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

$R/I⟶{\mathrm{C}}^0(T,ℝ).$

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?

Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und

$\phi :X⟶Y$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

$C(Y,ℝ)⟶C(X,ℝ),f⟼f\circ \phi ,$

induziert.

Aufgabe

Es sei $X$ eine Teilmenge von $ℝ$ und $C(X,ℝ)$ der Ring der stetigen Funktionen von $X$ nach $ℝ$. Dann ist durch

$\phi :C(ℝ,ℝ)⟶C(X,ℝ),f⟼f{|}_X,$

ein Ringhomomorphismus gegeben.

1. Zeige, dass $\phi$ genau dann surjektiv ist, wenn $X$ abgeschlossen ist.
2. Für welche Mengen $X$ ist $\phi$ injektiv?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ, und sei  $F\in R$.  Es sei

${\phi }^{\ast }:K-\mathrm{Spek}\left(R\right)⟶{𝔸}_K^1$

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung.

a) Zeige, dass $F$ genau dann konstant ist, wenn ${\phi }^{\ast }$ konstant ist.

b) Zeige, dass diese Aussage für einen endlichen Körper nicht gelten muss.

Man mache sich dabei auch die unterschiedlichen Bedeutungen von „konstant“ klar.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei integren $ℂ$-Algebren von endlichem Typ $R$ und $S$ und einem $ℂ$-Algebrahomomorphismus $\phi :R\to S$, der kein Ringisomorphismus ist, wo aber die induzierte Spektrumsabbildung ${\phi }^{\ast }:ℂ-\mathrm{Spek}\left(S\right)\to ℂ-\mathrm{Spek}\left(R\right)$ ein Homöomorphismus ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ. Wir betrachten eine endliche Erweiterung der Form

$\phi :R⟶S=R[X]/(X^n+r_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +r_2{X}^2+r_{1}X+r_0).$

Zeige, dass dann ${\phi }^{\ast }:K-\mathrm{Spek}\left(S\right)\to K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$ surjektiv ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte das Ideal

$𝔞=(U^5-V^3,U^{11}-W^3,V^{11}-W^5)\subseteq K[U,V,W]$

und das zugehörige Nullstellengebilde  $Z=V(𝔞)\subseteq {𝔸}_K^3$.  Zeige, dass $W-U^{2}V$ zum Radikal von $𝔞$ gehört. Zeige damit, dass $Z$ isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.

Man benutze, dass das Radikal der Durchschnitt der Primideale ist, die es umfassen, oder man reduziere auf den Fall, dass $K$ algebraisch abgeschlossen ist.