Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 19

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für die durch

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3},\,t^{4}\right),$

gegebene monomiale Kurve.

Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für die durch

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,t\longmapsto \left(t^{4},\,t^{5},\,t^{6}\right),$

gegebene monomiale Kurve.

Aufgabe

Es sei  ${}R\subseteq S$  eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei  ${}F\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung  ${}R_{F}\subseteq S_{F}$  ganz ist.

Aufgabe *

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei  ${}R\subseteq S$  eine ganze Ringerweiterung. Es sei  ${}f\in R$  ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei  ${}R\subseteq S$  eine ganze Ringerweiterung und sei  ${}f\in R$.  Zeige: Wenn ${}f$, aufgefasst in ${}S$, eine Einheit ist, dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}R$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung  ${}R\subseteq S$,  wo es einen Nichtnullteiler  ${}f\in R$  gibt, der ein Nullteiler in ${}S$ wird.

Aufgabe

Es sei

${}P=X^{2}-3X+7\,$

und

${}Q=Y^{3}-Y^{2}+4Y-5\,.$

Begründe, dass die Ringerweiterung

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X,Y]/(P,Q)\,$

ganz ist und finde eine Ganzheitsgleichung für ${}x+y$ und für ${}xy$ (kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen).

Aufgabe

Es sei  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung zwischen endlichen kommutativen Ringen ${}R$ und ${}S$. Zeige, dass eine ganze Ringerweiterung vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${}S=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

eine (als Algebra) endlich erzeugte ${}R$-Algebra, die ganz über ${}R$ sei. Zeige, dass ${}S$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und ${}R\rightarrow R'$ ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch

$\varphi '\colon R'\longrightarrow R'\otimes _{R}S,\,f\longmapsto f\otimes 1,$

ganz ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Ringhomomorphismus

$K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\longrightarrow K[U,V]/\left(U^{2}+V^{2}-1\right),\,(X,Y)\longmapsto \left(U^{2}-V^{2},2UV\right),$

über jedem Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ ganz ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei eine endliche Ringerweiterung der Form

${}K[X]\subseteq K[X][Y]/\left(Y^{n}+P_{n-1}(X)Y^{n-1}+\cdots +P_{2}(X)Y^{2}+P_{1}(X)Y+P_{0}(X)\right)=R\,$

mit  ${}P_{i}(X)\in K[X]$  gegeben, wobei der Erweiterungsring integer sei. Es sei ${}k$ derart, dass der Grad von ${}P_{i}$ höchstens ${}k(n-i)$ ist für alle

${}i=0,1,\ldots ,n-1\,.$

Zeige, dass dann ${}YX^{-k}$ eine Ganzheitsgleichung vom Grad ${}n$ über ${}K[X^{-1}]$ erfüllt, und dass die zugehörige Erweiterungsalgebra ${}K[X^{-1},YX^{-k}]$ den gleichen Quotientenkörper wie ${}R$ besitzt.

Aufgabe

1. Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass ${}R$ ganz-abgeschlossen im Polynomring ${}R[X]$ ist.
2. Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring ${}R$, der im Polynomring nicht ganz-abgeschlossen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}M\subseteq \mathbb {N}$  das durch ${}3,5,7$ erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}R,S,T$ kommutative Ringe und seien ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass ${}S$ ganz über ${}R$ und ${}T$ ganz über ${}S$ ist. Zeige, dass dann auch ${}T$ ganz über ${}R$ ist.

(Vergleiche Aufgabe 10.26).